Re: Pergunta solta

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

 Caro Morgado,
 eu agradeço a sua brilhante solução e ressalto que na primeira parte
dela,
 você usa a área de uma curva para estimar a soma de parcelas. É uma
idéia
 bem simples, mas eu nunca havia pensado nisso. Parece ser muito útil
fazer
 esse tipo de estimativas:
 Digamos que queremos estimar 1/1+1/2+...+1/k.
 Seguindo o raciocínio do prof. e usando notação similar. Dizemos que Sk
é a
 soma se 1/x com x variando de 1 até k. E Ak a área de 1/x com x
variando de
 1 até k. Vemos que tomando os retângulos por baixo da curva 1/x entre
os
 inteiros 1,2 ; 2,3 ;..., 1+Ak>Sk, e os retângulos por cima da curva que
 Sk>Ak+1/(k+1), logo 1+Ak>Sk>Ak+1/(k+1), e como Ak=ln(k), temos
 1+ln(k)>1/1+...+1/k>ln(k)+1/(k+1)
 A diferença entre as pontas dessa desigualdade é 1-1/(k+1)=k/(k+1), de
forma
 que conseguimos estimar Sk com um erro inferior a 1. Era de se esperar
(com
 esse resultado) que (1/1+...+1/k)-ln(k) tendesse a algum número entre 1
e
 1/(k+1), a medida que o k se tornasse maior e de fato  tende para
 0.5772156649... que é a chamada constante de Euler, segundo o Maple V,
e é
 representada pela letra gamma minúscula.
 Já é alguma coisa.
 
 Obrigado!
 
 Eduardo Casagrande Stabel.
 

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Apenas uns comentarios:
1) Essa idéia de relacionar as somas com as integrais eh poderosa, eh
padrao e eh 
devida a Mac Laurin.
2) A constante de Euler, ate hoje nao se sabe se ela eh racional ou
irracional.
3)A soma 1+1/2 +...+1/k eh, conforme voce mostrou, aproximada por lnk
com erro 
menor que 1. Tal soma esta tambem relacionada a funçao digama (que
alguns chamam 
de funçao psi), que eh o quociente entre a derivada da funçao gama e a
funçao gama
4) Na realidade, para concluir a existencia da constante de Euler, nao
basta a 
desigualdade que voce mostrou; ha que usar o fato de 1+1/2 +...+1/k -
lnk ser 
monotono, o que eh facil de mostrar.
5) Obrigado a todos pelas dicas sobre o Maple.
Morgado