Re: Pergunta solta

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

>From: Augusto Morgado <morgado@centroin.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Pergunta solta
>Date: Sun, 30 Jul 2000 12:00:34 -0300
>
>
>
>Augusto Morgado wrote:
> >
> > Ecass Dodebel wrote:
> > >
> > > >From: "Edmilson" <edmilson@abeunet.com.br>
> > > >
> > > >Olá pessoal tudo bem ?
> > > >
> > > >Caro Ecass,
> > > >
> > > >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,
> > > >
> > > >Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = 
>Pi^2/6 ,
> > > >como s(n) é monótona crescente, temos
> > > >s(n) < Pi^2/6 , para todo n  natural.
> > > >
> > > >Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n 
>natural.
> > > >
> > > >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 
>,
> > > >completando o quadrado temos :
> > > >
> > > >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 <
> > > >(n^2)*(Pi^2), assim, como
> > > >
> > > >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), 
>temos
> > > >:
> > >
> > > Caro Edmilson,
> > > nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a 
>passagem
> > > n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja
> > > Pi^2/6 < s(n)
> > > mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era
> > > inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao?
> > >
> > > Eduardo Casagrande Stabel.
> > >
> > > >
> > > >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja,
> > > >
> > > >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n,
> > > >finalmente :
> > > >
> > > >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural.
> > > >
> > > >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] 
>quando
> > > >n
> > > >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / 
>Pi que
> > > >está bem próximo de 1.
> > > >
> > > >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda 
>não
> > > >consegui).
> > > >
> > > >Atenciosamente,
> > > >Edmilson Aleixo.
> > > >
> > > >----- Original Message -----
> > > >From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
> > > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > > >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
> > > >Subject: Pergunta solta
> > > >
> > > >
> > > > > Olá,
> > > > >
> > > > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao
> > > > >
> > > > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2
> > > > >
> > > > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando 
>calcular pi
> > > >por
> > > > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:
> > > > >
> > > > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1)
> > > > >
> > > > > E também acho que o quociente
> > > > >
> > > > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]
> > > > >
> > > > > tende para 1 quando n tende para o infinito.
> > > > >
> > > > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém 
>poderia
> > > >dar
> > > > > uma idéia?
> > > > >
> > > > > Obrigado!
> > > > >
> > > > > Eduardo Casagrande Stabel.
> >
> > Carissimos:
> > A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera
> > chamada de Sk.
> >
> > Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a
> > area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k.
> > A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior
> > obtidas do jeito que vou descrever:
> > Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1,
> > mais a de k+1 a k+2 etc.
> > Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
> > retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
> > y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido
> > trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc.
> > Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
> > retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
> > y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando
> > nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc.
> > Obtemos Sk - 1/(k^2) < Ak < Sk.
> >
> > Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n
> > variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser
> > igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o
> > erro
> > cometido eh a soma dos valores de  1/n^2  com n variando de k+1 a
> > infinito,
> > ou seja eh S(k+1).
> > Pelo resultado do paragrafo anterior,  Ak < Sk < 1/(k^2)+ Ak, ou o que
> > eh o
> > mesmo, A(k+1) < S(k+1) < 1/((k+1)^2)+ A(k+1).
> > Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular).
> > Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e
> > 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2.
> >
> > Portanto,  X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com
> > erro
> > menor que (n+2)/(n+1)^2.
> >
> > X < (pi^2)/6 < X +(n+2)/(n+1)^2.
> >
> > Dai se obtem (raiz de 6X)< pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)].
> > Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a
> > soma de
> > raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar.
> > Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do
> > primeiro,
> > isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto
> > eh,
> > 6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que
> > (6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2  eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o
> > mesmo que
> >
> > [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que
> > eh o mesmo
> > que   [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou
> > ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X).
> > O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior
> > que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X>1,5, o que
> > ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes,
> > eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale
> > para n a partir de 7 inclusive.
> >
>Completando: (Pi^2)/6 - X , que eh o nosso S(n+1), esta compreendido
>entre
>1/(n+1) e  1/(n+1) + 1/(n+1)^2 = (n+2)/(n+1)^2. Escrevendo em notacao
>matematica essa desigualdade, somando X, multiplicando por 6 e tirando a
>raiz quadrada obtemos
>raiz de [6X+ (6/(n+1))] < Pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)]
>
>Dai se obtem
>raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X < Pi - raiz de 6X <
>< raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)] - raiz de 6X
>Multiplicando por n, obtem-se uma desigualdade para
>
>n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X}.
>Eh facil provar (basta desracionalizar as duas pontas) que as duas
>pontas da desigualdade tendem para 3/Pi
>quando n tende para infinito, o que mostra que, quando n tende para
>infinito,
>n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X} tende para 3/Pi.

Caro Morgado,
eu agradeço a sua brilhante solução e ressalto que na primeira parte dela, 
você usa a área de uma curva para estimar a soma de parcelas. É uma idéia 
bem simples, mas eu nunca havia pensado nisso. Parece ser muito útil fazer 
esse tipo de estimativas:
Digamos que queremos estimar 1/1+1/2+...+1/k.
Seguindo o raciocínio do prof. e usando notação similar. Dizemos que Sk é a 
soma se 1/x com x variando de 1 até k. E Ak a área de 1/x com x variando de 
1 até k. Vemos que tomando os retângulos por baixo da curva 1/x entre os 
inteiros 1,2 ; 2,3 ;..., 1+Ak>Sk, e os retângulos por cima da curva que 
Sk>Ak+1/(k+1), logo 1+Ak>Sk>Ak+1/(k+1), e como Ak=ln(k), temos
1+ln(k)>1/1+...+1/k>ln(k)+1/(k+1)
A diferença entre as pontas dessa desigualdade é 1-1/(k+1)=k/(k+1), de forma 
que conseguimos estimar Sk com um erro inferior a 1. Era de se esperar (com 
esse resultado) que (1/1+...+1/k)-ln(k) tendesse a algum número entre 1 e 
1/(k+1), a medida que o k se tornasse maior e de fato  tende para 
0.5772156649... que é a chamada constante de Euler, segundo o Maple V, e é 
representada pela letra gamma minúscula.
Já é alguma coisa.

Obrigado!

Eduardo Casagrande Stabel.

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