Desigualdades

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

> "Alexandre F. Terezan" wrote:
> 
> Qual a demonstração das desigualdades das médias aritmética,
> geométrica e harmônica?
Na minha opinião, a demonstração de Cauchy é insuperável.
Para provar que a aritmética é maior ou igual à geométrica, ele prova
inicialmente para dois positivos, o que é fácil:
(a+b)/2 - R(ab) = [(Ra-Rb)^2] /2 que é >=0. Logo, (a+b)/2 >= R(ab), onde
R está significando raiz quadrada.

Agora, ele prova para 4 números positivos.
(a+b+c+d)/4 = [(a+b)/2 +(c+d)/2}/2  >= [R(ab) +R(cd)] /2 >=
R[R(ab).R(cd)] = raiz quarta de (abcd).

Repetindo o argumento, ele prova para 8, 16,..., em suma, para uma
quantidade de números que seja potência de 2.

Agora, para finalizar, ele cobre os buracos provando que se a
desigualdade vale para n números, então ela vale para n-1 números
também.
Sejam os n-1 números a, b, ..., k. Sejam A e G as médias aritmética e
geométrica dos n-1 números.
Apliquemos a deigualdade aos n números a, b, ..., k, A.

(a+b+...+k+A)/n   >=  raiz n de a.b....k.A

{(n-1)A+A ]/n  >= raiz n de [G^(n-1).A]
A >= raiz n de [G^(n-1).A]
Elevando os dois membros ao expoente n e simplificando, obtemos A >= G.

Para provar que a harmônica é menor ou igual à geométrica, basta aplicar
a deigualdade entre a aritmética e a geométrica aos inversos dos
números.
Morgado