Desigualdades

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

> "Alexandre F. Terezan" wrote:
> 
> Qual a demonstra��o das desigualdades das m�dias aritm�tica,
> geom�trica e harm�nica?
Na minha opini�o, a demonstra��o de Cauchy � insuper�vel.
Para provar que a aritm�tica � maior ou igual � geom�trica, ele prova
inicialmente para dois positivos, o que � f�cil:
(a+b)/2 - R(ab) = [(Ra-Rb)^2] /2 que � >=0. Logo, (a+b)/2 >= R(ab), onde
R est� significando raiz quadrada.

Agora, ele prova para 4 n�meros positivos.
(a+b+c+d)/4 = [(a+b)/2 +(c+d)/2}/2  >= [R(ab) +R(cd)] /2 >=
R[R(ab).R(cd)] = raiz quarta de (abcd).

Repetindo o argumento, ele prova para 8, 16,..., em suma, para uma
quantidade de n�meros que seja pot�ncia de 2.

Agora, para finalizar, ele cobre os buracos provando que se a
desigualdade vale para n n�meros, ent�o ela vale para n-1 n�meros
tamb�m.
Sejam os n-1 n�meros a, b, ..., k. Sejam A e G as m�dias aritm�tica e
geom�trica dos n-1 n�meros.
Apliquemos a deigualdade aos n n�meros a, b, ..., k, A.

(a+b+...+k+A)/n   >=  raiz n de a.b....k.A

{(n-1)A+A ]/n  >= raiz n de [G^(n-1).A]
A >= raiz n de [G^(n-1).A]
Elevando os dois membros ao expoente n e simplificando, obtemos A >= G.

Para provar que a harm�nica � menor ou igual � geom�trica, basta aplicar
a deigualdade entre a aritm�tica e a geom�trica aos inversos dos
n�meros.
Morgado