Re: Pergunta solta

["Edmilson" <edmilson@xxxxxxxxxxxxxx>]

Olá pessoal tudo bem ?

Caro Ecass,

Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,

Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 ,
como s(n) é monótona crescente, temos
s(n) < Pi^2/6 , para todo n  natural.

Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n natural.

Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 ,
completando o quadrado temos :

(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 <
(n^2)*(Pi^2), assim, como

(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos :

(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja,

n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n,
finalmente :

Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural.

Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando n
tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que
está bem próximo de 1.

Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não
consegui).

Atenciosamente,
Edmilson Aleixo.

----- Original Message -----
From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
Subject: Pergunta solta


> Olá,
>
> Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao
>
> s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2
>
> Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi por
> essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:
>
> Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1)
>
> E também acho que o quociente
>
> [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]
>
> tende para 1 quando n tende para o infinito.
>
> Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia dar
> uma idéia?
>
> Obrigado!
>
> Eduardo Casagrande Stabel.
>
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