Re: Pergunta solta

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Augusto Morgado wrote:
> 
> Ecass Dodebel wrote:
> >
> > >From: "Edmilson" <edmilson@abeunet.com.br>
> > >
> > >Olá pessoal tudo bem ?
> > >
> > >Caro Ecass,
> > >
> > >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,
> > >
> > >Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 ,
> > >como s(n) é monótona crescente, temos
> > >s(n) < Pi^2/6 , para todo n  natural.
> > >
> > >Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n natural.
> > >
> > >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 ,
> > >completando o quadrado temos :
> > >
> > >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 <
> > >(n^2)*(Pi^2), assim, como
> > >
> > >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos
> > >:
> >
> > Caro Edmilson,
> > nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem
> > n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja
> > Pi^2/6 < s(n)
> > mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era
> > inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao?
> >
> > Eduardo Casagrande Stabel.
> >
> > >
> > >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja,
> > >
> > >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n,
> > >finalmente :
> > >
> > >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural.
> > >
> > >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando
> > >n
> > >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que
> > >está bem próximo de 1.
> > >
> > >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não
> > >consegui).
> > >
> > >Atenciosamente,
> > >Edmilson Aleixo.
> > >
> > >----- Original Message -----
> > >From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
> > >Subject: Pergunta solta
> > >
> > >
> > > > Olá,
> > > >
> > > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao
> > > >
> > > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2
> > > >
> > > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi
> > >por
> > > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:
> > > >
> > > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1)
> > > >
> > > > E também acho que o quociente
> > > >
> > > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]
> > > >
> > > > tende para 1 quando n tende para o infinito.
> > > >
> > > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia
> > >dar
> > > > uma idéia?
> > > >
> > > > Obrigado!
> > > >
> > > > Eduardo Casagrande Stabel.
> 
> Carissimos:
> A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera
> chamada de Sk.
> 
> Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a
> area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k.
> A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior
> obtidas do jeito que vou descrever:
> Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1,
> mais a de k+1 a k+2 etc.
> Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
> retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
> y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido
> trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc.
> Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
> retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
> y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando
> nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc.
> Obtemos Sk - 1/(k^2) < Ak < Sk.
> 
> Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n
> variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser
> igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o
> erro
> cometido eh a soma dos valores de  1/n^2  com n variando de k+1 a
> infinito,
> ou seja eh S(k+1).
> Pelo resultado do paragrafo anterior,  Ak < Sk < 1/(k^2)+ Ak, ou o que
> eh o
> mesmo, A(k+1) < S(k+1) < 1/((k+1)^2)+ A(k+1).
> Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular).
> Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e
> 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2.
> 
> Portanto,  X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com
> erro
> menor que (n+2)/(n+1)^2.
> 
> X < (pi^2)/6 < X +(n+2)/(n+1)^2.
> 
> Dai se obtem (raiz de 6X)< pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)].
> Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a
> soma de
> raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar.
> Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do
> primeiro,
> isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto
> eh,
> 6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que
> (6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2  eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o
> mesmo que
> 
> [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que
> eh o mesmo
> que   [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou
> ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X).
> O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior
> que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X>1,5, o que
> ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes,
> eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale
> para n a partir de 7 inclusive.
> 
Completando: (Pi^2)/6 - X , que eh o nosso S(n+1), esta compreendido
entre
1/(n+1) e  1/(n+1) + 1/(n+1)^2 = (n+2)/(n+1)^2. Escrevendo em notacao 
matematica essa desigualdade, somando X, multiplicando por 6 e tirando a
raiz quadrada obtemos
raiz de [6X+ (6/(n+1))] < Pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)]

Dai se obtem 
raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X < Pi - raiz de 6X < 
< raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)] - raiz de 6X
Multiplicando por n, obtem-se uma desigualdade para 

n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X}.
Eh facil provar (basta desracionalizar as duas pontas) que as duas
pontas da desigualdade tendem para 3/Pi
quando n tende para infinito, o que mostra que, quando n tende para
infinito,
n {raiz de [6X+ (6/(n+1))] - raiz de 6X} tende para 3/Pi.