Re: Pergunta solta

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Ecass Dodebel wrote:
> 
> >From: "Edmilson" <edmilson@abeunet.com.br>
> >
> >Olá pessoal tudo bem ?
> >
> >Caro Ecass,
> >
> >Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim,
> >
> >Seja  s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6 ,
> >como s(n) é monótona crescente, temos
> >s(n) < Pi^2/6 , para todo n  natural.
> >
> >Devemos mostrar que  Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1) , para todo n natural.
> >
> >Temos que 2.Pi > n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 < 0 ,
> >completando o quadrado temos :
> >
> >(n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 < (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 <
> >(n^2)*(Pi^2), assim, como
> >
> >(n.Pi -1)^2 < (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos
> >:
> 
> Caro Edmilson,
> nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem
> n².6.Pi²/6 < (n^2)*6*s(n), ou seja
> Pi^2/6 < s(n)
> mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era
> inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao?
> 
> Eduardo Casagrande Stabel.
> 
> >
> >(n.Pi -1)^2 < 6*(n^2)*s(n), ou seja,
> >
> >n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) < 1 , dividindo ambos os lados por n,
> >finalmente :
> >
> >Pi - (6*s(n))^(1/2)) < n^(-1) , para todo n natural.
> >
> >Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando
> >n
> >tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que
> >está bem próximo de 1.
> >
> >Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não
> >consegui).
> >
> >Atenciosamente,
> >Edmilson Aleixo.
> >
> >----- Original Message -----
> >From: Ecass Dodebel <ecassdodebel@hotmail.com>
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM
> >Subject: Pergunta solta
> >
> >
> > > Olá,
> > >
> > > Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao
> > >
> > > s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2
> > >
> > > Sabe-se que lim(n->+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi
> >por
> > > essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante:
> > >
> > > Pi - (6*s(n))^(1/2) < n^(-1)
> > >
> > > E também acho que o quociente
> > >
> > > [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)]
> > >
> > > tende para 1 quando n tende para o infinito.
> > >
> > > Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia
> >dar
> > > uma idéia?
> > >
> > > Obrigado!
> > >
> > > Eduardo Casagrande Stabel.

Carissimos:
A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera
chamada de Sk. 

Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a
area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k.
A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior
obtidas do jeito que vou descrever:
Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1,
mais a de k+1 a k+2 etc.
Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido
trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc.
Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um
retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal
y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando
nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc.
Obtemos Sk - 1/(k^2) < Ak < Sk.

Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n
variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser 
igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o
erro
cometido eh a soma dos valores de  1/n^2  com n variando de k+1 a
infinito,
ou seja eh S(k+1).
Pelo resultado do paragrafo anterior,  Ak < Sk < 1/(k^2)+ Ak, ou o que
eh o
mesmo, A(k+1) < S(k+1) < 1/((k+1)^2)+ A(k+1).
Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular).
Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e 
1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2.

Portanto,  X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com
erro 
menor que (n+2)/(n+1)^2.

X < (pi^2)/6 < X +(n+2)/(n+1)^2.

Dai se obtem (raiz de 6X)< pi < raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)].
Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a
soma de
raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar.
Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do
primeiro,
isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto
eh, 
6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que
(6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2  eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o
mesmo que

[6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que
eh o mesmo 
que   [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X) ou
ainda que 6- [(n^2+8n+1)/n(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X).
O primeiro é sempre menor que 6. Se mostrarmos que o segundo eh maior 
que 6, ponto final. O segundo ser maior que 6 equivale a X>1,5, o que
ocorre para todo n a partir de 7 inclusive ( e talvez ate ocorra antes, 
eh so verificar).De qualquer modo, o resultado que voces queriam vale 
para n a partir de 7 inclusive.

PS: Onde se arranja um Maple baratinho?