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Re: D�vida cruel...
>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "Obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: D�vida cruel...
>Date: Thu, 13 Jul 2000 15:24:00 -0300
>
>Ser� que algu�m podia me ajudar nesse problema ???
>Verificar se existe primo p tal que p>(n+1)! e (2n)!/(n-1)! = (n+1)! mod
>p
>*a igualdade deve ser lida como congru�ncia...(� claro !)
> � Villard !
Ol�,
(2n)!/(n-1)! = (n+1)! (mod p)
j� que mdc( (n+1)! , p )=1, pois p � primo maior que (n+1)!, podemos dividir
ambos os lados da congru�ncia por p
(2n)!/(n-1)!(n+1)!=1 (mod p)
Se o lado esquerdo n�o for 1, ele deve ser maior do que p, e,
consequentemente, maior que (n+1)!. No entanto para n=2,3,4,5 se ve,
manualmente, que o lado esquerdo da congruencia acima � menor que (n+1)!, e
para n maior do que 5, use o seguinte:
Na expans�o de (1+1)^(2n) aparecem dois termos (2n)!/(n-1)!(n+1)!, logo
(2n)!/(n-1)!(n+1)! < 2^(2n)
E como 2^(2n) < (n+1)! para n>5 (verifica-se para n=5, e depois se prova por
indu��o em n, j� de de um lado aparece o produto 4, e do outro (n+2)>4).
Unindo as duas desigualdes, temos:
(2n)!/(n-1)!(n+1)! < 2^(2n) < (n+1)! para n>5, o que conclui a demonstra��o.
Obrigado!
Eduardo Casagrande Stabel.
Obs. percebi que o Ralph Costa Teixeira j� respondeu algo semelhante, mas j�
que eu estou aqui, mando...
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