Geometria com complexos!

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

"Dados um ponto P sobre uma circunferência unitária e os vértices A1, A2,
..., An de um n-agono regular inscrito, prove que:
PA1^2 + PA2^2 + ... + PAn^2 e
PA1^4 + PA2^4 + ... + PAn^4 são constantes".

	Esse problema esta no artigo de complexos da Eureka 7. Eu até acho que sei
como resolve-lo, mas gostaria de saber se existe uma solucao mais simples
usando numeros complexos (tenho esperanca que sim).
	Minha solucao (braçal) seria algo do tipo:
Chame P de e^ia.
Entao, PAk = |e^ia - e^(i2pik/n)|.
	E os dois somatorios do enunciado poderiam ser calculados explicitamente
com as seguintes observacoes:
i)  |1 - e^ib| = 2sen(b/2) qq q seja b;
ii) Uso da formula para o calculo do somatorio S (de k igual a 1 ate n) de
sen (x + yr) e cos(x+yr).
iii) Uso de expressoes do tipo 2sen^2(b) = 1 - cos (2b); 8sen^4 (b) =
cos(4b) - 4cos(2b) + 3.

	É bem verdade que (ii) e (iii) podem ser demonstradas utilizando-se
complexos, mas ainda fico na duvida sobre se existe uma solucao mais
facil/direta para esse problema.

	E para completar, mas duas indagacoes :
1) Da para mostrar que acontece a mesma coisa se o ponto P estiver em qq
lugar do plano (ou até do espaço)? (acho q ja vi isso num livro).
2) existe alguma generalizacao para a soma de uma potencia qualquer?

	E mais um comentario, acho que há um pequeno erro tipografico no problema 8
do referido artigo.
A questao é :
"A0, A1, A2, A3, A4, A5 dividem a circunferencia unitaria em cinco partes
iguais. Prove que (AoA1.A3A2)^2 = 5."
Acho que o correto seria algo do tipo (AoA1.A3A5)^2 = 5...

[]'s,
Marcio