Me ajudem!

["Alexandre Gomes" <alexsgom@xxxxxxxxxxx>]

   Caros colegas
   Há alguns dias enviei um probleminha que tinha elaborado há um tempo. 
Como não consegui uma boa idéia para resolvê-lo, ou melhor, não consegui 
resolvê-lo, decidi enviá-lo para a lista. Mesmo sendo uma questão sem 
atrativos, continuei trabalhando nela, quando o tempo me permitia e esperei 
alguma solução ou sugestão, que não apareceu, não sei se é porque o problema 
é realmente difícil ou se é muito idiota, a ponto de se recusarem a 
respondê-lo. Mando novamente o problema e uma observação que fiz enquanto 
tentava solucioná-lo. Se algum dos colegas conseguirem solucioná-lo ou 
tiverem alguma sugestão, por favor, respondam.
  Dado o conjunto A de todas as potências inteiras de 2, escolhe-se um 
elemento ao acaso, cuja soma dos algarismos vale x. Diga, com prova, o 
número máximo de elementos de A que podem ser escolhidos tais que a soma dos 
algarismos de cada um deles também seja igual a x.
   OBSERVAÇÃO FEITA(não sei se é a melhor):
   Podemos escolher 2 números a e b de A, com a<b, com a seguinte 
propriedade: Se a soma dos algarismos de cada um dos números a e b é x, 
então b=64a. Notar que a soma dos algarismos de c=64b é maior do que x. Se 
construirmos uma demonstração formal para isso, parte da solução está 
encaminhada, faltando apenas demonstrar que não existe um outro elemento de 
A, além de a e b, cuja soma dos algarismos também seja x. Desta forma, 
concluitremos que o número máximo de elementos de A que tenham soma dos 
algarismos iguais a x é 2.
   Mais uma vez digo que não sei se esta é a melhor saída. Quem me ajuda a 
dar uma demonstração formal à minha observação ou tem uma saída melhor?
   Conto com vocês.
   Um abraço
   Alexandre S. Gomes.

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