Re:discussão de problemas

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

	Note que num triangulo qualquer tem-se por exemplo a =
r(cotg(B/2)+cotg(C/2)) (desenhe o circulo inscrito e olhe para o lado a como
soma das projeções de cada segmento que liga o incentro aos vértices B,C) e
portanto, pela lei dos senos,
2RsenA=r(cotg(B/2)+cotg(C/2). mas a expressao nos parentesis vale
(cosB/2senB/2+cosC/2senC/2)senB/2senC/2 = sen(B/2+C/2)/senB/2cosB/2.
	e como B/2+C/2 = 90 - A/2 tem-se
4RsenA/2cosA/2 = r(cosA/2)/(senB/2senC/2). Ou seja, como cosA/2 != 0 sempre,
temos
r/R = 2senA/2senB/2senC/2 em qualquer triangulo.
	O problema entao passa a ser:
Mostrar que se cosA + cosB + cosC = 1 + 2senA/2senB/2senC/2 entao o
triangulo é equilátero.
Ora, 1+2[2senA/2senB/2]senC/2 = 1+ {-cos[(A+B)/2]+cos[(A-B)/2]}2sen(C/2)= 1+
2{cos[(A-B)/2] - sen[C/2]} senC/2 =
2sen(C/2)cos[(A-B)/2] + [1-2sen^2(C/2)]= 2sen(C/2)cos[(A-B)/2] + cosC. (i)

Por outro lado, tem-se cosA+cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] =
2sen(C/2)cos[(A-B)/2](ii)

Isso mostra que a igualdade do enunciado vale qualquer que sejam os angulos
do triangulo ABC.


>----- Original Message -----
>From: José Fabrício Maia
>To: discussão de problemas
>Sent: Sexta-feira, 21 de Abril de 2000 07:24
>Subject: situações-interessantes
>
>
>1- Prove que a equação x^5+y^2=z^3 possui infinitas soluções inteiras
>positivas.
>
>2- Prove que: se cosA + cosB + cosC = 1 +  (r / R ) então o triângulo é
>eqüilátero.
>
>
>Observações:
>a^b: significa (a) elevado a (b)
>r: raio da circunferência inscrita
>R: raio da circunferência circunscrita