Re: Me ajudem!

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Oi, Alexandre.

	Este problema é *muito* complicado. Eu concordo que se a soma dos
algarismos de A=2^a é a mesma de B=2^b, com A>B então 6 | (a-b). Mas é
só isso que eu vejo. Pode ser que a=b+6, pode ser a=b+12... Apesar de eu
achar "provável" que a=b+6 (e portanto A=4096B), vejamos (bendito
Excel!):

	Diferença de potências 12:
	2^32=    4294967296 (soma 58 - média dos dígitos 5.80)
	2^44=17592186044416 (soma 58 - média dos dígitos 4.14)

	Pior, chega a 24 com:
	2^46=        70368744177664 (soma 70 - média digital 5.00)
	2^58=    288230376151711744 (soma 70 - média digital 3.89)
	2^70=1180591620717411303424 (soma 70 - média digital 3.18)
	e até mesmo a hipótese de que sejam no máximo 2 números falha.

	Usando *só* as 120 primeiras potências, eu achei também:
	2^67  =            147573952589676412928 (soma 110 - média 5.24)
	2^73  =           9444732965739290427392 (soma 110)
	2^79  =         604462909807314587353088 (soma 110)
	2^103 = 10141204801825835211973625643008 (soma 110 - média 3.44)
	(diferença em potências 36 da primeira a última! São ONZE algarismos a
mais)

	e algumas outras triplas, com soma de algarismos 107, 112, 118, 125.
Calcule mais potências e eu aposto que algumas dessas triplas viram
quadras (como a do 110), e não duvido nada que mais alguém dê 110... etc
etc etc

	Eu apostaria que, dado n positivo qualquer, *existem* n potências de 2
com a mesma soma de algarismos... Mas isso deve ser *MUUUUUUITO* difícil
de provar. Até n=4 está feito acima... :)

	Como exercício, de novo, adivinhe como eu fiz as contas acima em
Excel... :)

	Abraços,
		Ralph
	
Alexandre Gomes wrote:
> 
>    Caros colegas
>    Há alguns dias enviei um probleminha que tinha elaborado há um tempo.
> Como não consegui uma boa idéia para resolvê-lo, ou melhor, não consegui
> resolvê-lo, decidi enviá-lo para a lista. Mesmo sendo uma questão sem
> atrativos, continuei trabalhando nela, quando o tempo me permitia e esperei
> alguma solução ou sugestão, que não apareceu, não sei se é porque o problema
> é realmente difícil ou se é muito idiota, a ponto de se recusarem a
> respondê-lo. Mando novamente o problema e uma observação que fiz enquanto
> tentava solucioná-lo. Se algum dos colegas conseguirem solucioná-lo ou
> tiverem alguma sugestão, por favor, respondam.
>   Dado o conjunto A de todas as potências inteiras de 2, escolhe-se um
> elemento ao acaso, cuja soma dos algarismos vale x. Diga, com prova, o
> número máximo de elementos de A que podem ser escolhidos tais que a soma dos
> algarismos de cada um deles também seja igual a x.
>    OBSERVAÇÃO FEITA(não sei se é a melhor):
>    Podemos escolher 2 números a e b de A, com a<b, com a seguinte
> propriedade: Se a soma dos algarismos de cada um dos números a e b é x,
> então b=64a. Notar que a soma dos algarismos de c=64b é maior do que x. Se
> construirmos uma demonstração formal para isso, parte da solução está
> encaminhada, faltando apenas demonstrar que não existe um outro elemento de
> A, além de a e b, cuja soma dos algarismos também seja x. Desta forma,
> concluitremos que o número máximo de elementos de A que tenham soma dos
> algarismos iguais a x é 2.
>    Mais uma vez digo que não sei se esta é a melhor saída. Quem me ajuda a
> dar uma demonstração formal à minha observação ou tem uma saída melhor?
>    Conto com vocês.
>    Um abraço
>    Alexandre S. Gomes.