Re: SOCORRO URGENTE!!!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 14 Mar 2000, Nicolau C. Saldanha wrote:

> 
> 
> On Tue, 14 Mar 2000, Mparcos Paulo wrote:
> 
> > Esse problema me foi passado por um aluno e eu não consegui resolver!
> > Se este problema for algum teorema conhecido, por favor citem o nome!
> > Dado um quadrilátero inscrito em um círculo, provar que o produto das
> > distâncias de um ponto qualquer da circunferência até dois lados opostos é
> > igual ao produto das distâncias desse mesmo ponto até os outros dois lados.
> > 
> 
> Eu pelo menos não sei que tipo de attach é este que você mandou e,
> desculpe, não tenho o menor interesse em descobrir.
> Talvez não seja importante, pois o enunciado parece estar todo aí.
> Em todo caso, evitem attachments, svp.
> 
> O seu problema, eu sei resolver por analítica.
> As distâncias aos 4 lados são dadas por expressões da forma
> (ai x + bi y + ci), i = 1, 2, 3, 4
> (a menos de um sinal que ignoraremos por enquanto).
> O lugar geométrico dos pontos onde os produtos das distâncias desejadas
> se igualam é uma cônica de equação
> (a1 x + b1 y + c1)(a3 x + b3 y + c3) = (a2 x + b2 y + c2)(a4 x + b4 y + c4);
> como esta cônica passa pelos 4 vértices, basta mostrar que é um círculo,
> i.e., que o termo xy se anula. Mas o termo xy é
> (a1 b3 + a3 b1) - (a2 b4 + a4 b2) 
> como ai = cos(wi), bi = sen(wi), onde wi é o argumento dos 4 lados temos
> que o termo xy é
> sen(w1 + w3) - sen(w2 + w4)
> e a conclusão segue do fato bem conhecido que a soma de ângulos opostos é
> sempre 180 graus.

Este final não está muito legal.
Antes de mais nada, é preciso também provar que o coeficiente de x^2 é igual
ao de y^2. Tudo isso deve seguir fácil por trigonometria, vou verificar
e mando outra mensagem. []s, N.