Re: SOCORRO URGENTE!!!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 14 Mar 2000, Mparcos Paulo wrote:

> Esse problema me foi passado por um aluno e eu não consegui resolver!
> Se este problema for algum teorema conhecido, por favor citem o nome!
> Dado um quadrilátero inscrito em um círculo, provar que o produto das
> distâncias de um ponto qualquer da circunferência até dois lados opostos é
> igual ao produto das distâncias desse mesmo ponto até os outros dois lados.
> 

Eu pelo menos não sei que tipo de attach é este que você mandou e,
desculpe, não tenho o menor interesse em descobrir.
Talvez não seja importante, pois o enunciado parece estar todo aí.
Em todo caso, evitem attachments, svp.

O seu problema, eu sei resolver por analítica.
As distâncias aos 4 lados são dadas por expressões da forma
(ai x + bi y + ci), i = 1, 2, 3, 4
(a menos de um sinal que ignoraremos por enquanto).
O lugar geométrico dos pontos onde os produtos das distâncias desejadas
se igualam é uma cônica de equação
(a1 x + b1 y + c1)(a3 x + b3 y + c3) = (a2 x + b2 y + c2)(a4 x + b4 y + c4);
como esta cônica passa pelos 4 vértices, basta mostrar que é um círculo,
i.e., que o termo xy se anula. Mas o termo xy é
(a1 b3 + a3 b1) - (a2 b4 + a4 b2) 
como ai = cos(wi), bi = sen(wi), onde wi é o argumento dos 4 lados temos
que o termo xy é
sen(w1 + w3) - sen(w2 + w4)
e a conclusão segue do fato bem conhecido que a soma de ângulos opostos é
sempre 180 graus.

[]s, N.