Re: ajuda

["Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Muito bonita sua solução. Ela me esclareceu algumas dúvidas q tinha.

Valeu!

----- Original Message -----
From: Ralph Costa Teixeira <ralph@visgraf.impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Quinta-feira, 2 de Março de 2000 19:52
Subject: Re: ajuda


> Maneira 1 de fazer (fatoracao magica; dificil, mas gera todas as
> solucoes inteiras se voce quiser):
>
> i) Fato: a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
> ii) Se voce tentar usar isto abaixo com a=x, b=-y e ajeitando c para
> que apareca o 3abc, e trabalhando um pouco mais, voce verah que:
> (3x-3y-1)(9x^2+9y^2+3x-3y+9xy+1)=1646
> (se voce duvida, abra este produto e verifique que ele eh equivalente
> aa equacao abaixo)
> iii) Note que a equacao original implica que x>y (pois x e y sao
> naturais!). Como 1646 = 2.823 e 823 eh primo, ha apenas 4 hipoteses a
> considerar: 3x-3y-1 = 1,2,823 ou 1646. De fato, notando que 3x-3y-1 eh
> da forma 3k-1, somente temos que tentar 2 e 1646.
>
> 3x-3y-1=2 => x=y+1 => 3y^2+3y+1 = y^2+y+61 => y^2+y-30=0 => y=5
> 3x-3y-1=1646 => x-y=549 => 3.549.y^2+3.549^2.y+549^3 = y^2 + 549y + 61
> => 1646y^2 + 903654y + 165469088 = 0 => impossivel pois y>=0
> FINAL: Unica solucao natural eh x=6, y=5
> NOTA: Um pouco mais de contas e se acham todas as solucoes inteiras;
> basta considerar as hipoteses 3x-3y-1 = 2, 1646, -1, -843...
>
> Maneira 2 de fazer (magica menor):
>
> Escreva x=y+a para mudar a equacao. Ve-se da equacao que solucoes
> naturais implicam que x-y>0, isto eh, a>0. Assim, a eh natural positivo.
>
> y^3+3ay^2+3a^2y+a^3-y^3=y^2+ay+61
> (3a-1) y^2 + a(3a-1) y + (a^3-61) = 0
> y^2 + ay + (a^3-61)/(3a-1) = 0
>
> Note que se a>=4 entao P=(a^3-61)/(3a-1) > 0 e ambas as solucoes da
> quadratica sao negativas! (soma eh -a, produto eh P). Assim, temos a =
> 1, 2 ou 3.
>
> Podemos ir direto aas opcoes, ou notar que -P=(61-a^3)/(3a-1) = y^2 +
> ay tem de ser inteiro. Para a=1,2,3 temos -P=30,53/5,34/8; assim, a=1.
>
> Finalmente y^2+y-30=0 implica y=5 ou y=-6. A unica solucao inteira
> serah portanto y=6 e x=5.
>
> Abraco,
> Ralph
>
> > José Fabrício Maia wrote:
> >
> > Ache as soluções naturais da equação x^3 - y ^3 = xy + 61.
> > Observação: x^3 ( x elevado a 3)