Re: pi(x) e primos da forma 4k+1

["Marcos Eike Tinen dos Santos @ ITA @" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

E essa função que vc mencionou, não seria a função fi de Euler, ou seja
números primos entre si que são menores que n. Matematicamente,

fi: N -> N ; fi(n) = {k pertencente a K; 0<= n < k ; mdc (k,n) =1



A dedução do problema é a seguinte:

Usando a definição de fatoração canonical temos que Pn =p1^a1 * ... * pn^an.
Defina Nn = Pn + 1, supondo que pn+1 seja o menor fator de Nn. Temos que
pn+1 não assumi nenhum valor de p1, p2, ..., pn. Então temos {Pk}k>0, o que
prova que quando pi(x) tende ao infinito com x tendendo ao infinito existem
infinitos números primos.



O pi(x) que estou mencionando é pi(x) > log2log2 (x)     sendo o 2 a base.

Não entendi essa teoria direito.



-----Mensagem original-----
De: Bruno Leite <superbr@zip.net>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 6 de Fevereiro de 2000 21:14
Assunto: pi(x) e primos da forma 4k+1


>>Outro Problema, Alguém conhece a  função pi(x)? Quer me explicar?
>>Tem um exercício, porém não entendi direito.
>>
>>O exercício pede para Provar que há infinitos número primos congruentes a
1
>>mod 4.
>>
>>
>>
>>Muito Obrigado!
>>
>>Marcos Eike Tinen dos Santos
>>
>Caro Marcos,
>
>A função pi(x) que eu conheço (e torço para que estejamos falando da mesma
>função!)
>é definida assim:
>
>pi(x)= número de primos menores que x. (ou será que é menor OU IGUAL? -
>alguém da lista pode confirmar))
>
>Uma prova de que existem infinitos primos da forma 4k+1 é a seguinte:
>
>Suponha que existam n primos dessa forma:p1, p2, ..., pn.
>
>Considere o número X=(p1.p2. ... .pn)^2 + 1. Ele é maior que qualquer primo
>da forma 4k+1 e portanto por hipótese é composto.
>
>Notando que ele não é uma potência de 2(pois é congruente a 2 no módulo 4)
>então algum primo ímpar q o divide: X=0(mod q)
>
>Suponha que q é da forma 4k+3. Então X=0(mod q) -> (p1.p2. ... .pn)^2 = -1
>(mod q)
>
>Elevando tudo a 0,5(p-1), temos (p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(0,5(p-1)) (mod
>q)
>
>Como p=4k+3 por hipótese,
>
>(p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(0,5(4k+2)) (mod q)
>
>(p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(2k+1) (mod q)
>
>No entanto o lado esquerdo dessa igualdade vale 1 (pelo pequeno teorema de
>Fermat)
>enquanto o direito vale -1. Isso é,
>1=-1(mod q) o que implica em q=2 ou q=1, um absurdo pois q é primo ímpar.
>
>Assim, q é da forma 4k+1 e portanto q pertence ao conjumto (supostamente
>finito) {p1, p2, ..., pn.}. Assim, q=px (x é um índice de p, não está
>multiplicando p), com 1<=x<=n
>
>Temos X=0(mod q) -> (p1.p2. ... .pn)^2 + 1=0(mod px) -> 1=0(mod px)
ABSURDO.
>
>Portanto existem infinitos primos da forma 4k+1!!!
>
>Bruno Leite