pi(x) e primos da forma 4k+1

[Bruno Leite <superbr@xxxxxxx>]

>Outro Problema, Alguém conhece a  função pi(x)? Quer me explicar?
>Tem um exercício, porém não entendi direito.
>
>O exercício pede para Provar que há infinitos número primos congruentes a 1
>mod 4.
>
>
>
>Muito Obrigado!
>
>Marcos Eike Tinen dos Santos
>
Caro Marcos,

A função pi(x) que eu conheço (e torço para que estejamos falando da mesma
função!)
é definida assim:

pi(x)= número de primos menores que x. (ou será que é menor OU IGUAL? -
alguém da lista pode confirmar))

Uma prova de que existem infinitos primos da forma 4k+1 é a seguinte:

Suponha que existam n primos dessa forma:p1, p2, ..., pn.

Considere o número X=(p1.p2. ... .pn)^2 + 1. Ele é maior que qualquer primo
da forma 4k+1 e portanto por hipótese é composto.

Notando que ele não é uma potência de 2(pois é congruente a 2 no módulo 4)
então algum primo ímpar q o divide: X=0(mod q)

Suponha que q é da forma 4k+3. Então X=0(mod q) -> (p1.p2. ... .pn)^2 = -1
(mod q)

Elevando tudo a 0,5(p-1), temos (p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(0,5(p-1)) (mod
q) 

Como p=4k+3 por hipótese,

(p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(0,5(4k+2)) (mod q)

(p1.p2. ... .pn)^(p-1) = -1^(2k+1) (mod q)

No entanto o lado esquerdo dessa igualdade vale 1 (pelo pequeno teorema de
Fermat)
enquanto o direito vale -1. Isso é,
1=-1(mod q) o que implica em q=2 ou q=1, um absurdo pois q é primo ímpar.

Assim, q é da forma 4k+1 e portanto q pertence ao conjumto (supostamente
finito) {p1, p2, ..., pn.}. Assim, q=px (x é um índice de p, não está
multiplicando p), com 1<=x<=n

Temos X=0(mod q) -> (p1.p2. ... .pn)^2 + 1=0(mod px) -> 1=0(mod px) ABSURDO.

Portanto existem infinitos primos da forma 4k+1!!!

Bruno Leite