Investigacoes Aritmeticas

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

As Progressoes Aritmeticas constiuem, muito provavelmente, as mais simples 
sequencias estudadas na Matematica. Elas tem um interesse intrinseco e sao 
tambem auxiliares em muitas outras areas.
Estas sequencias podem ser generalizadas de diversas maneiras e quando eu 
era estudante de nivel medio e procurava coisas mais interessantes para me 
ocupar descobri uma destas generalizacoes possiveis.
Eu nunca pensei em publicar estas coisas por achar que eram evidentes, 
simples e que qualquer um poderia fazer... Mas comeco a pensar que me 
enganei.
Outro dia, numa das visitas semanais que faco a "sebos" e livrarias, 
descobri um livro que trata deste mesmo assunto . Ficou claro para mim que o 
autor nao compreendeu toda a conceituacao envolvida. Ocorre que um livro e, 
em verdade, um Professor que pode atingir, literalmente, milhoes de 
estudantes... Sendo assim, divulgando agora um dos resultados de minhas 
investigacoes, nao so as submeto a apreciacao e criticas dos colegas e 
Professores que frequentam nossa lista como presto, segundo acredito, um 
favor a meus pares, os estudantes que nao se limitam apenas aquilo que esta 
nos livros.
Finalizando, alerto meus colegas que muitos professores nao aceitam que se 
uso qualquer recurso que nao esta nos livros ou que eles nao ensinaram. Em 
muitas ocasioes eu nao tirei 10 em Matematica simplesmente porque, segundo o 
Prof, a maneira com que eu resolvia os problemas nao era convencional, ou 
nao estava registrado no curriculo do MEC ou era uma "tecnica subversiva".
Bom, maos a obra:

Representarei por [ N/P ] o numero binomial de numerador "N" e denominador 
"P". Se N < P, considerarei [ N/P ] = 0. O somatorio de F(i), "i" variando 
de 1 ate R, sera representado aqui por Si{1,R:F(i)}.  usarei "Ai" para 
representar  um termo qualquer na posição "i"

Uma Progressao Aritmetica e uma sequencia de objetos ( A1, A2, A3, ... ),  
com pelo menos dois objetos, tais que:

Ai+1 - Ai = K   <=>   Ai+1 = Ai + K

Sendo  "i" um natural qualquer maior que zero e "K" uma constante real 
qualquer.
Estas sequencias sao bastantes conhecidas e penso que nao e necessario 
exemplificar. O que e importante e que existem as famosas formulas de "termo 
generico" e de "soma", bastantes conecidas e que sao:

An = A1 + (N - 1)*R       e        Sn = ( N*(A1 + An) )/2

Nestas formulas "R" e chamado "razao da progresao" e e o valor constante "K" 
que usamos na definicao.
Ate aqui tudo tranquilo ... Vamos agora apresentar estas mesmas definicoes 
com outra roupagem e introduzir um novo conceito. Se, a principio, tudo 
parecer uma mudanca artificial, logo mostrarei que as mudancas sao 
proficuas.

Definicao: Uma Progressao Aritmetica de Primeira Ordem e toda sequencia A1, 
A2, ..., An de pelo menos dois objetos tais que:

[ 1/1 ]*Ai+1 -  [ 1/0 ]*Ai = K, K uma constante real qualquer diferente de 
zero.

Observe que estamos usando os numeros binomiais [ 1/0 ] e [ 1/0 ] para 
definir a Progressao Aritmetica de Primeira Ordem ( PA1 ) . Estamos 
introduzindo um conceito, o de ordem de uma progressao Aritmetica.
As formulas de Termo gernerico e de soma vao  adquirir a seguinte expressao:

An = A1 + (N-1)*R => An = A1 + (N - 1)*(A2 - A1) => An = [ N-1/0 ]*A1  +  [ 
N-1/1 ]*(A2 - A1)

An = [ N-1/0 ]*A1  +  [ N-1/1 ]*(A2 - A1)

Sn = ( N*(A1 + An) )/2  =>  Sn = ( N*(A1 + A1 + (N-1)*R) )/2
Sn =  N*A1  + (N(N - 1)/2)*R = N*A1 +  (N(N - 1)/2)*(A2 - A1)

Sn =  [ N/1 ]*A1  +  [ N/2 ]*(A2 - A1)

Portanto, as tradicionais formulas de uma progressao aritmetia, que estamos 
chamando de progressao aritmetica de ordem 1, passam a ter oas seguintes 
formas:

An = [ N-1/0 ]*A1  +  [ N-1/1 ]*(A2 - A1)

Sn =  [ N/1 ]*A1  +  [ N/2 ]*(A2 - A1)

O que seria uma Progressao Aritmetica de 2 ordem ( PA2 ) ?

Uma Progressao Aritmetica de segunda ordem (PA2) seria uma sequencia de 
pelos menos tres objetos tais que se retirarmos de cada termo, a partir do 
segundo,, seu antecessor, obeteremos uma Progressao Aritmetica de primeira 
ordem ( PA1 ).

Uma definicao consistente com esta visao e atendendo a nomenclatura que 
estamos usando e:

Uma ( PA2 ) e uma sequencia de pelos 3 objetos tais que:

[ 2/0 ]Ai+2  -  [ 2/1 ]Ai+1  +  [ 2/2 ]Ai = K, com K uma constante real 
qualquer diferente  de zero

Com base nesta definicao pode-se facilmente encontrar as formulas de termo 
generico e de soma, que serao:

An=[ N-1/0 ]A1 +[ N-1/2]*(A2 - A1)+ [ N-1/3 ]*(A3 - 2*A2 + A1)

Sn = [ N/1 ]A1 + [ N/2 }*(A2 - A1) + [ N/3 ]*(A3 - 2*A2 + A1)

Exemplos de Pa2´s :

os numeros triangulares:
1, 3, 6, 10, ...

os quadrados perfeitos:
1, 2, 9, 16,  25, ...

a sequencia de  retangulos:
1*2 , 2*3, 3*4, 4*5, ...

E claro que podemos abordar essas sequencias de exemplo acima de outras 
formas. Todavia, com o conceito de  PA2 temos uma forma sintetica e unitaria 
de abordar todas elas, mostrando que sao classes de numeros que estao 
profundamente familiarizados, constituindo o que podemos chamar de uma 
familia.
O leitor atento deve ter observado que as expressoes A1,  A2 - A1, A3 - 2AA2 
+ A1 sao muito importante no contexto das PA2´s. Vou mostrar que, de fato , 
elas sao muito importantes e permitem uma interpretacao que creio 
surpreendera a muitos ...

Seguinto a nossa linha de definicao, podemos facilmente definir as PA3´s, 
vale dizer , aquelas sequencias nas quais, se retirarmos de cada termo, a 
partir do segundo, seu antecessor , obsteremo9s uma PA2.

Uma  Progressao Aritmetica de terceira ordem e uma sequencia de pelo menos 4 
termos A1, A2, A3, A4, ... tais que, para qualquer i > 0 :

[ 3/0 ]Ai+3 - [ 3/1 ]Ai+2 + [ 3/2 ]Ai+1 - [ 3/3 ]Ai = K, sendo K uma 
constante qualquer diferente de zero.

Usando esta definicao e asmesmas tecnicas para as PA2´s  e possivel obter as 
formulas de termo generico e de soma para esta sequencias, que sao:

An = [ N-1/0 ]*A1 + [ N-1/1 ]*(A2 - A1) + [ N-1/2 ]*(A3 - 2*A2 + A1) + [ 
N-1/3 ]*(A4 - 3*A3 + 3*A2 - A1 )

Sn = [ N/1 ]*A1 + [ N/2 }*(A2 - A1) + [ N/3 ]*(A3 - 2*A2 + A3) + [ N/4 ]*(A4 
- 3*A3 + 3*A2 + A1)

Chamando D1 = A1, D2=A2 - A1, D3=A3 - 2*A2 + A1 e D4=A4 - 3*A3 + 3*A2 - A1, 
fica:

An = [ N-1/0 ]*D1 + [ N-1/1 ]*D2 + { N-1/2 ]*D3 + [ N-1/3 ]*D4
Sn = [ N/1 ]*D1 + [ N/2 ]*D2 + [ N/2 ]*D3 + [ N/3 ]*D4

são exemplos de PA3´s:

Os numeros tetraedricos:
1, 4, 10,  20, 35 ...

Os cubos perfeitos:
1, 8, 27, 64, 125 , ...

A sequencia de paralelepipedos:
1*2*3, 2*3*4, 3*4*5, ....

Acredito que ate aqui deve ter ficado evidente como generalizar isto ao 
maximo. O que devemos fazer agora e definir uma PAP, vale dizer, uma 
progressao aritmetic de ordem P. A definicao é

Uma progressao aritmetica de ordem P e uma sequncia  de pelo menos P+1 
termos tais que ( segue uma figura com a formula ) :



As formulas de termo geral e de soma serao:
( estou colando uma figura a seguir )










Bom, aqui chegamos a um ponto de maximo. Definimos uma PAP e mostramos quais 
as formulas de termo geral de soma.
Gostaria de resaltar que descobrimos a forma do polinomio e nao so que 
trata-se de um polinomia de determinado grau..
Nos nao dissemmos que a PA2 tem para soma e para termo  geral um polinomio 
do 2 Grau. Nos mostramos a forma e a "cara" deste polinomio, com os seus 
coeficientes.
A partir daqui  existem duas avenidas basicas a serem percorridas e eu vou 
apenss assinala-las,

Tome o termo geral de uma PA3 :

An = [ N-1/0 ]*D1 + [ N-1/1 ]*D2 + { N-1/2 ]*D3 + [ N-1/3 ]*D4

Ele pode ser colocado como :

An= (D1/0!) + (D2/1!)*(N-1) + (D3/2!)*(N-1)*(N-2) + 
(D4/3!)*(N-1)*(N-2)*(N-3)

Salta os olhos ! A expressão para uma PA3 é muitíssimo semelhante ao 
desenvolvimento de Taylor da Análise ! Neste caso, os Di desempenham o papel 
de "derivadas discretas" e passamos a ter toda a conceituacao da Analise 
para nos inspirar em investigacoes no dominio discreto !
Se os Di sao derivadas, o que o correlado discreto da formula de curvatura 
pode falar sobre o dominio dos naturais ? Vale a pena investigar !

Uma outra vertente, que segui e que guarda belos e inusitados resultados e 
notar que as colunas do triangulo de pascao sao PAP´s. Todavia, são PAP´s 
particulares. Nos temos uma definicao Geral ! Se estabelecermos  uma relacao 
de equivalencia conveniente entre as PAP´s podemos obter o Triangulo de 
Pascal e muitas coisas mais ...
Em particular destacamos que:

Todos os resultados de  Euler neste dominio podem ser ser generalizados

Comeca-se a entender que 0!=1 e 1!=1 sao realmente meras convencoes e nao 
precisamos delas

Pode-se definir numeros trinomiais, quadrinomiais  e lhes dar a respectiva 
interpretação combinatoria

Com a definicao dos numeros multinomiais pode-se dar uma expressao muito 
mais sintetica a formula de expansao multinomial de Leibniz

Algumas questao muito interessantes aparecem

Eu precisaria de muito espaco para mostrar todas estas coisas

Dedico este e-mail a todos os Professores que frequentam a lista.

Um forte abreaco
Paulo Santa Rita
6,1542,151099




______________________________________________________
Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com