Eu realmente invento problemas legais e humildes...

["The Buddha's Son" <mocelim@xxxxxxxxxx>]

Caros amigos,

lembram do PPL? Pois é, talvez agora existam o SPL, TPL, QPL, ... , N-ésimo
PL.

Vejam alguns problemas que inventei recentemente:

PROBLEMA 1

Sejam ABCD um quadrado, P e Q os pontos médios dos lados BC e AD, M e N
pontos quaisquer sobre os lados AB e DC tais que AM = 3MB e DN = 5NC.
Calcule o máximo de ângulos possíveis dos triângulos MPN, MQN, PQN, PQM.

PROBLEMA 2

Duas pessoas jogam o seguinte jogo:
Existem 99 cartões numerados de 1 a 99 em uma caixa e um tabuleiro onde está
desenhado um caminho, dividido em casas. A primeira casa possui o número 1,
a segunda, 2, e assim por diante, até a 1999ª casa. O primeiro jogador
retira ao acaso um dos cartões da caixa; o número n deste cartão será o
número de casas que ele avançará no tabuleiro, porém:

a) Se n é primo (exceto 2), o jogador deve voltar n² - 1 casas.
b) Se n é um quadrado perfeito (exceto 1), o jogador deve voltar 2 casas.
c) Se n é um cubo (exceto 1), o jogador deve voltar 3 casas.
d) Se n é uma potência de 2 (incluindo 1 e 2), o jogador perde o jogo.

Explique se é possível que um jogador pare numa casa k, após 1999 rodadas,
tal que k² + 1 divida  k³ - 1 e permaneça no jogo.

PROBLEMA 3

Um grupo integrado por 99 escoteiros, sendo um deles você, senta e forma um
grande círculo. Trata-se de um encontro no qual um de vocês receberá um
grande prêmio, da seguinte forma: é feito um sorteio; o sortiado escolherá
um integrante da roda e contará até 7, a partir deste, no sentido horário. O
sétimo escoteiro a ser contado é eliminado da disputa e retira-se do
círculo. Inicia-se então uma nova contagem a partir daquele que estava à
direita do eliminado, e o sétimo escoteiro a ser contado é retirado do
grupo. O processo se repete até que apenas um sobre, e este será o vencedor.
Sendo você o sortiado, qual dos escoteiros deve ser escolhido para abrir a
contagem, de forma que você receba o prêmio?

Obs.: Cada escoteiro veste uma camiseta com um número natural de 1 a 98,
sendo que o de camiseta 1 está sentado entre os de camisetas 2 e 98, o de
camiseta 2 está sentado entre os de camiseta 1 e 3, e assim por diante. Você
veste a de número 1.

PROBLEMA 4

Explique se existem inteiros positivos de exatamente 9 dígitos múltiplos de
9, 99 e 999 simultaneamente.

O problema 3 seria maravilhoso para uma terceira fase desta Obm no nível 1,
por exemplo. Que a Comissão resolva e comprove!