Re: Ainda sobre a OBM-93

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Correto, Bruno. Procuremos f:R+->R (para mim, 0 esta em R+)

	Seja g(x)=2x+1, h(x)=3x+5. Queremos f(g(x))=h(f(x)) Note que
g(g(g...(g(x))...) = 2^n(x+1)-1 (g composta consigo mesma n vezes); isto
eh, g leva I0=[0,1) em I1=[1,3) em I2=[3,7) ... em In=[2^n-1,2^(n+1)-1)
em ...


	Isto indica que basta definir f em um desses intervalos e usar
f(g(x))=h(f(x)) para definir f em outros lugares. Isto e, escolha
*qualquer* funcao f(x) definida em [0,1). Depois, use a recursao para
definir f(x) nos outros intervalos; se x esta em In, ache y em I0 tal
que x=g(g(...(g(y))...) (composta n vezes). Entao:

	f(x)=f(g(...g(y)...)=h(h...(h(f(y))...) (composta n vezes)

	Explicitamente:
	Para x>0 qualquer, calcule n=parte inteira de log (x+1) (base 2).
Calculamos y:

	2^n(y+1)-1 = x entao y = (x+1)/2^n - 1	
	
	Note que da definicao de n:

	2^n <= x+1 < 2^(n+1) entao 0 <= y < 1 e y esta em I0.	

	Entao f(x)=h(h(h(.h(f(y)).)= 3^n f(y) + 5(3^n-1)/2 resolve o problema.
Se quiser, substitua a definicao de y e n e ache a formula geral; nao
acho que vale a pena.

	Abraço,
		Ralph
Bruno Leite wrote:
> 
> Problema 5)Determine explicitamente(dê uma fórmula para)uma função
> f:IR+(reais positivos) -> IR(reais) tal que f(2x+1) = 3f(x) + 5
> 
> O que eu queria discutir aqui é a unicidade da solução. Uma função que serve
> é:
> 
> f(x) = 2,5{[3^log(2)(x+1)]-1}
> 
> (representei log de a base b por log(b)(a))
> 
> mas eu não sei muito bem se ela é a única que serve. Estou desconfiado que
> não, pois parece que as "famílias de domínio" do tipo x, 2x+1, 2(2x+1)+1 etc
> são independentes entre si, mas não sei provar. Alguém pode dar uma ajuda?
> 
> Bruno Leite
> 
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