Re: Ainda sobre a OBM-93

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 10 Nov 1999, Bruno Leite wrote:

> Problema 5)Determine explicitamente(dê uma fórmula para)uma função 
> f:IR+(reais positivos) -> IR(reais) tal que f(2x+1) = 3f(x) + 5

Esta formula pode ser reescrita como g(2y) = 3 g(y) se

g: (1,infty) -> R
g(y) = f(y-1) + (5/2); f(x) = g(x+1) - (5/2)

pois 

g(2y) = g(2(y-1) + 2) = f(2(y-1) + 1) + (5/2) = 3f(y-1) + 5 + (5/2) =
      = 3 ( f(y-1) + (5/2) ) = 3 g(y)

> 
> O que eu queria discutir aqui é a unicidade da solução. Uma função que serve 
> é:
> 
> f(x) = 2,5{[3^log(2)(x+1)]-1}

Sua solu,c~ao pode ser escrita como

g(y) = y^a onde a = (log 3)/(log 2).

Uma solu,c~ao mais geral 'e g(y) = C y^a.

> 
> (representei log de a base b por log(b)(a))
> 
> mas eu não sei muito bem se ela é a única que serve. Estou desconfiado que 
> não, pois parece que as "famílias de domínio" do tipo x, 2x+1, 2(2x+1)+1 etc 
> são independentes entre si, mas não sei provar. Alguém pode dar uma ajuda?

O que voc^e diz 'e correto: o que ocorre em cada sequencia da forma
x, 2x+1, 2(2x+1)+1, ... (com x em (0,1])
'e independente do que ocorre em outras seq"uencias.
Em outras palavras, se voc^e definir f de forma arbitraria no intervalo
[0,1) ent~ao voc^e pode usar a rela,c~ao f(2x+1) = 3f(x) + 5 para definir
f no intervalo [1,3), depois no intervalo [3,7), ...
Assim f est'a muito longe de ser 'unica.

[]s, N.