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O 4º problema de Hilbert propôs caracterizar todas as geometrias cujas geodésicas coincidem com as retas do espaço euclidiano. Isso levou ao conceito de métricas projectivamente equivalentes em variedades arbitrárias, ou seja, métricas que compartilham as mesmas trajetórias geodésicas, a menos de uma reparametrização. Naturalmente, essa questão estende-se a sistemas hamiltonianos restritos a níveis de energia, com especial ênfase em níveis supercríticos, nos quais o fluxo hamiltoniano corresponde a uma reparametrização do fluxo geodésico de uma métrica de Finsler. Nesta apresentação, introduziremos os conceitos fundamentais, exemplos e resultados recentes neste contexto.

Nesta palestra, discutimos a entropia e a dimensão de Hausdorff de conjuntos excepcionais em dinâmicas no intervalo. Esses conjuntos, determinados por pontos cuja órbita é assintoticamente disjunta de um conjunto-alvo dado, tipicamente têm medida zero para qualquer medida invariante ergódica com suporte total. No entanto, para conjuntos-alvo suficientemente pequenos em termos de entropia e dimensão, os conjuntos excepcionais associados são grandes tanto em complexidade dinâmica quanto em geometria fractal. Nossa abordagem baseia-se na aproximação da entropia do sistema por meio de subconjuntos do tipo Cantor definidos dinamicamente, os quais admitem representações simbólicas. Os sistemas considerados incluem mapas contínuos, mapas monótonos por partes e certos mapas não uniformemente expansores. Exemplos aos quais nossos resultados se aplicam incluem a família logística, as β-transformações, o modelo de Manneville-Pomeau e o mapa de Gauss.

Considerando o papel de relevância que equações cohomológicas desempenham em sistemas dinâmicos, é de suma importância encontrar condições e obstruções para a existência de soluções. Um dos mais célebres teoremas em dinâmica que ilustra esta situação é o teorema de Livsic, segundo o qual afirma que a existência de soluções da equação cohomológica dada por um potencial é equivalente a suas somas de Birkhoff se anularem ao longo de toda órbita periódica. Isto constitui-se um exemplo de uma obstrução para a existência de soluções a qual é determinada pela dinâmica, o que levanta a hipótese de que outros tipos de obstruções também possam existir. Com este objetivo, vamos explorar algumas dessas obstruções e caso haja tempo, dar algumas aplicações.

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A propriedade de sombreamento desempenha um papel fundamental na caracterização da estabilidade estrutural em variedades compactas. De forma informal, essa propriedade assegura que, para toda δ-pseudórbita (isto é, uma órbita com pequenos erros), existe uma órbita que a aproxima bem. No contexto de operadores em espaços de dimensão infinita, foi demonstrado por Nilson Bernardes et al. que a conjectura da estabilidade estrutural não é mais verdade. Esse resultado motivou o estudo de versões mais fracas da propriedade de sombreamento, como o limit shadowing, Lp-shadowing, average shadowing, entre outras. Neste seminário, discutiremos essas diferentes noções de sombreamento incluindo a propriedade de super shadowing, apresentando caracterizações para alguns exemplos, parte de este seminário vem de um trabalho em colaboração com Manuel Saavedra.

Palis, Newhouse, and Takens (1986) expanded on Poincaré's classical concept of the rotation number for circle endomorphisms homotopic to the identity. Instead of a single number, they showed that a whole rotation interval can arise — and that every rational number within this interval is realized by a periodic orbit of a specific type. In this same spirit, we will show how to define a 'vertical rotation' interval in dimension 2 for homeomorphisms that are homotopic either to the identity or to a Dehn twist. For Dehn twist classes, we give a new and simple proof of the realization of periodic points, under the sharp assumption that there are no wandering points. As a result, we extend a recent result by Le Calvez (2022) and generalize a result by Addas-Zanata, Garcia, and Tal (2014).

The continuity of the Lyapunov exponents was proved by Bocker and Viana in the setting of random invertible two dimensional cocycles. (This result has also been extended recently to n-dimensional cocycles by Avila, Eskin and Viana.) It is well known that in the non-invertible scenario the continuity does not hold. In this talk, I will introduce a dichotomy result with the flavour of Theorem of Mañé-Bochi. For random non-invertible two dimensional cocycles, either the cocycle is projectively uniformly hyperbolic, or it can be can be approximated by cocycles with Lyapunov exponent equal to -ꝏ. As a consequence, either the Lyapunov exponent is analytic (if the cocycle is uniformly hyperbolic) or it is discontinuous. This is a joint work with Pedro Duarte, Tomé Graxinha and Silvius Klein.

A entropia topológica é um invariante dinâmico que classifica diferentes tipos de dinâmica pelo seu nível de caoticidade. De fato, se duas dinâmicas têm entropias diferentes, então elas são topologicamente distintas. Neste seminário, vamos abordar a seguinte questão=> como distinguir dinâmicas de entropia zero? Aparentemente, essa pergunta é ampla demais para ser respondida diretamente. Por isso, utilizaremos o conceito de entropia generalizada para distinguir essas dinâmicas com base no crescimento da separação de órbitas. Além disso, veremos como induzir esses sistemas no hiperespaço, de modo a distinguir dinâmicas com entropia generalizada linear. Se der tempo, vamos aplicar esse conceito às dinâmicas induzidas no espaço das medidas de probabilidade.

Vamos mostrar uma prova do Teorema de Densidade Geral Ergódico de Mañé para fluxos e uma noção de hiperbolicidadeseccional não uniforme. A partir disso, vamos exibir um resultado de A. Arbieto e L. Salgado onde se obtém de forma genérica a hiperbolicidade seccional de campos de vetores em um subconjunto aberto qualquer na topologia C^1.

In chaotic systems the statistical properties of the dynamics are often a better object to be studied than the pointwise behavior of trajectories. Indeed, due to the initial condition sensitivity, the future behavior of initial data can be unstable and unpredictable, but statistical properties are often stable and their description simpler. With the advance of technology, computational approaches have begun to contribute to obtaining important results in mathematics. The aim of the seminar is to present a rigorous computational approach that helps in the study of statistical properties, in particular convergence to equilibrium, of piecewise expanding.

When physical SRB measures are of maximal entropy? When two given systems are smoothly conjugated? The goal of this talk is to outline a beautiful (classical) rigidity result for Anosov systems in dimension two that connects these two questions. Precisely, we show that the SRB measure of f maximizes the entropy if and only iff f is smoothly conjugated to its linearization along unstable leafs. The classical proof of this result (see Katok-Hasselblat) relies on thermodynamical formalism=> the equilibrium states associated to different potentials must differ unless the potentials are co-homologous. Another approach can be made via Lyapunov exponent rigidity=> if the push-forward of the SRB measure by the conjugacy is a measure with the same Lyapunov exponent then the conjugacy must be smooth along the leafs. In this talk, we shall present a self-contained geometrical proof based on a detailed study of conditional measures along unstable leafs for the SRB (leafwise measures) and for the MME (Margulis family).

The lyapunov exponent of product of random matrices is continuous with respect to the underlying probability distribution. We investigate its regularity. In dimension 2, it can be pointwise Lipschitz, Holder, and log-Holder according to the lyapunov spectrum and the subgroup the support lies in.

A regularidade dos expoentes de Lyapunov é um tópico de interesse na área. Em 1991, Y. Peres provou que, sob a hipótese de simplicidade dos expoentes, os mesmos são funções analíticas com respeito às probabilidades de transição no caso do produto aleatório de matrizes, desde que o suporte da probabilidade em questão seja finito. Nesta palestra, estendemos o resultado de Peres para o caso de probabilidades de suporte compacto. Se o tempo permitir, abordaremos o caso Markov e as consequências desse resultado para a distribuição dos zeros dos expoentes de Lyapunov. Este é um trabalho em conjunto com Aline Melo e Marcelo Durães.

Em 1974, Sigmund mostrou que a propriedade de especificação implica a densidade (na topologia fraca*) das medidas periódicas no conjunto das medidas invariantes. Nosso objetivo é entender a estrutura do espaço das medidas ergódicas em sistemas não hiperbólicos sem especificação. Formularemos uma versão do resultado de Sigmund no conjunto das medidas ergódicas não hiperbólicas. Pelo Teorema de Kupka-Smale, genericamente, não existem medidas periódicas não hiperbólicas. Portanto, para obter um resultado análogo ao de Sigmund, buscamos medidas que possam desempenhar o papel destas medidas. Gorodetski, Ilyashenko, Kleptsyn e Nalsky construíram medidas ergódicas não hiperbólicas como limites de medidas periódicas, as chamadas medidas GIKN. Estas medidas têm baixa complexidade, como provado por Kwietniak e Lacka. Assim, podem ser consideradas substitutas naturais das medidas periódicas. Mostraremos que, em contextos parcialmente hiperbólicos, as medidas GIKN formam um conjunto denso no espaço das medidas ergódicas não hiperbólicas.

Let X be a topological vector space (TVS). A subset 𝐴⊂𝑋 is said dense lineable if 𝐴 ∪[0] contains a dense vector subspace of X. We introduce the D-phenomenon to establish a common dense lineable criterion that encompasses properties such as recurrence, universality, and Li-Yorke chaos. This work is in collaboration with Alexander Arbieto.

Se (X, T) é um sistema dinâmico topológico, um ponto x ∈ X é genérico se as médias de Birkhoff convergem para toda observável. Nesta oportunidade vamos falar como relacionam-se pontos genéricos da dinâmica discreta e dinâmica contínua. Por exemplo, R. Bowen define a entropia topológica para conjuntos não compactos h(f, ·) e prova que h(f,Gμ(f)) ≤ hμ(f) para toda medida invariante e a igualdade sempre vale. Mostraremos como obter uma desigualdade similar no contexto de fluxos. Outras propriedades serão também discutidas.

O espaço de métricas é um conjunto com uma topologia bem definida, oferecendo um campo fértil para investigações. Uma questão interessante a ser explorada é=> como uma métrica se comporta sob a ação de uma deformação conforme? Qual é o comportamento do caminho de métricas definido por essa deformação? Sabemos que as métricas de Anosov estão localizadas dentro do conjunto das métricas sem pontos conjugados. A questão que surge, então, é=> seria possível pertubar uma métrica de modo que o caminho de métricas resultantes seja Anosov a menos da métrica inicial? Além disso, seria possível deformar uma métrica de Anosov até que ela adquira curvatura negativa, mantendo o caminho definido pela deformação dentro do conjunto de métricas de Anosov? Nesta apresentação, discutirei o espaço de métricas e apresentarei uma deformação que, em algumas superfíciesriemannianas, oferece uma resposta positiva às questões mencionadas acima.

We bring the classical marked length spectrum rigidity problem in the setting of Anosov dynamics obtained by perturbing a Riemannian metric g by the action of a (static) magnetic force b. On closed surfaces we show that the marked length spectrum associated to the Anosov pair (g,b) uniquely characterizes the metric g and the magnetic force b. Such a resul extends to the magnetic perturbative case the recent result established by Guillarmou, Lefeuvre and Paternain in [GLP] for standard Anosov metric on surfaces. [GLP] Marked length spectrum rigidity for Anosov surfaces.

No mundo dos fluxos de contato (por exemplo, fluxos geodésicos), sabe-se que não é possível obter seções globais de Poincaré transversais ao fluxo de contato. Nesta palestra, introduziremos o conceito de seções de Birkhoff em dimensão 3, uma variação das seções de Poincaré que permite codificar a dinâmica. Apresentaremos exemplos clássicos que levaram a esse conceito e discutiremos algumas condições que garantem sua existência.

Nesta palestra, apresentarei o conceito de fluxos assintoticamente seccionais hiperbólicos, fornecendo apenas uma visão introdutória dos conceitos fundamentais que os sustentam. Farei um percurso por fluxos hiperbólicos e estrela, seguido da exploração de fluxos seccionais hiperbólicos e, por fim, dos fluxos assintoticamente seccionais hiperbólicos. Serão apresentados exemplos ilustrativos como o atrator geométrico de Lorenz e atrator do Rovella para destacar as principais diferenças entre esses conceitos, enfatizando que os fluxos assintoticamente seccionais hiperbólicos englobam os fluxos seccionais hiperbólicos. Além disso, demonstrarei que, sob uma hipótese adicional, que todo fluxo estrela e assintoticamente seccional hiperbólico é seccional hiperbólico.

Nesta apresentação falarei sobre um resultado obtido em otimização. Neste trabalho, os autores estudaram condições necessárias e suficientes para a convergência forte do método de projeções alternadas em espaços de Hadamard. Em particular, eles introduziram o conceito de sequências quase-normais e utilizaram o Teorema ergódico de Birkhoff para mostrar que o conjunto das sequências quase normais possui medida total com respeito a medida de Bernoulli. Esta abordagem utilizando técnicas de Teoria Ergódica os permitiu responder um problema em aberto relacionado ao método das projeções alternadas, que foi introduzido por von Neumann em 1933 para resolver o problema de viabilidade convexa, que consiste em encontrar um ponto na interseção de conjuntos convexos.

Nesta palestra, trataremos do formalismo termodinâmico subaditivo para a classe de cociclos típicos, definida em [Bonatti-Viana, 2004]. O teorema principal é devido a [Park, 2020] e estabelece uma propriedade topológica, conhecida como quase-multiplicatividade, para esta classe de cociclos. Esta propriedade tem consequências na variação contínua da pressão topológica subaditiva e dos estados de equilíbrio com respeito a um potencial que captura a geometria do cociclo. Ao fim, veremos como estes resultados se encaixam na teoria de dimensão de fractais.

O fenômeno de se combinar as dinâmicas de mapas racionais e grupos Kleinianos via correspondências tem suas origens em trabalhos de Shaun Bullett e Christopher Penrose, desde 1994. Recentemente, novas técnicas trouxeram avanços significativos ao assunto. Apresentamos um desses avanços, performando uma construção de correspondências que combinam mapas racionais com um ponto fixo parabólico e duas direções atratoras, e uma representação do grupo modular que tem como conjunto limite um empacotamento de círculos. Tentamos também montar uma imagem conjectural de todos os cruzamentos com empacotamentos.

Nesta palestra, introduziremos o fenômeno da concentração de medida, um conceito que surge em diversas áreas da matemática e que descreve como, em certos espaços métricos, a medida de conjuntos concentrados em torno de pontos típicos cresce rapidamente. A apresentação será focada na prova desse fenômeno par o subshift de tipo finito. Após demonstrarmos o resultado principal, discutiremos algumas aplicações.

Um resultado bastante conhecido utilizando ferramentas padrões em teoria ergódica é a ergodicidade do fluxo geodésico em uma superfície de curvatura negativa e volume finito. Porém, o mesmo problema para superfícies de curvatura não-positiva tem sido desafiador e apenas alguns resultados são conhecidos assumindo propriedades geométricas adicionais. Nesta palestra, explorando algumas novas técnicas baseadas no estudo de comparação das razões cruzadas e de correntes geodésicas, exibiremos uma prova da ergodicidade do fluxo geodésico de uma superfície fechada de curvatura não-positiva com gênero maior do que um. Este é um trabalho conjunto com Keith Burns e Khadim War.

Nesta palestra, apresentarei um exemplo clássico devido a Pater Walters de um difeomorfismo pseudo-Anosov na esfera bidimensional. Destacaremos diversas propriedades que não são imediatamente aparentes e introduziremos uma generalização do conceito de hiperbolicidade, conhecido em inglês como continuum-wise hyperbolicity, definido por Artigue, Carvalho, Cordeiro, e Vieitez. Seguindo essa proposta, explorarei algumas consequências da cw-hiperbolicity e discutiremos alguns progressos recentes na classificação de homeomorfismos cw-hyperbólicos.

A linear cocycle associated with a random product of 2x2 invertible matrices under a probability distribution have two (possibly equal) Lyapunov exponents. When the first exponent is simple (i.e. ) we can prove that those two exponents are pointwise Hölder continuous with respect to theprobability measure. A natural question arises=> Does this result generalize to higher dimensions? In this talk, we'll explore the concept of a stochastic dynamical system, define a random GL(d)-cocycle and investigate the above-mentioned generalization. This is a work in progress with El Hadji Yaya Tall, Adriana Sánchez and Marcelo Viana.

Let 𝓗 be the space of all entire functions over the n-dimensional complex vector space. We say that a continuous linear operator 𝐿=> 𝓗 ⟶ 𝓗 is a convolution operator if L comutes with every translation operator. In this presentation, we will introduce the definition of distributional chaos for topological vector spaces. With this definition, we will prove that all convolution operators on the space 𝓗 are distributionally chaotic. This work was a collaboration with Vinícius V. Fávaro.