25º SIES: 28 de novembro de 2025 (sexta-feira)

Nesta palestra de caráter introdutório, exploraremos o formalismo de standard pairs – pares ℓ = (γ, ρ) formados por uma curva γ (instável) e uma densidade ρ suave sobre ela. Através de exemplos concretos como o Anosov linear, ilustraremos como essa ferramenta fundamental opera na prática para decompor medidas e estabelecer propriedades estatísticas em sistemas hiperbólicos.

m grupo G é denominado periódico quando todo elemento de G possui ordem finita. O chamado Problema de Burnside pode ser enunciada da seguinte maneira: seja G um grupo periódico finitamente gerado. G é necessariamente finito? Schur demonstrou que, se G é um grupo linear periódico finitamente gerado, isto é, G é um subgrupo de matrizes invertíveis n x n com coeficientes complexos, então G deve ser finito. A resposta à questão revelou-se negativa, uma vez que contraexemplos foram descobertos por Golod–Schafarevich e Adian–Novikov na década de 1960. Grupos de transformações “não lineares”, tais como grupos de homeomorfismos, grupos de difeomorfismos, são conjecturados como possuindo diversas propriedades em comum com grupos lineares. Discutiremos abordagens para esse problema por meio do uso de medidas estacionárias e dos expoentes de Lyapunov. Além disso, examinaremos como podem surgir certas generalizações relacionadas a outros problemas independentes.

Bibliografia:

HURTADO, Sebastián; KOCSARD, Alejandro; RODRÍGUEZ-HERTZ, Federico. The Burnside Problem for Diff$\omega(S^2)$. Duke Mathematical Journal, 169(17), 3261--3290, 2020. https://doi.org/10.1215/00127094-2020-0028

Falaremos essencialmente sobre o artigo de Bonatti, Shaobo Gan e Dawei Yang que estabelece um critério para a hiperbolicidade de classes homiclínicas. De maneira mais precisa, se uma classe H(p) admite um splitting parcial T_{H(p)}=E^s\oplus_{<}F, onde E^s é uniformemente contracting e dim(E^s)=ind(p) e todos os pontos pontos homoclinicamente relacionados a p são uniformemente E^u-expanding no período, então H(p) é hiperbólico.