[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda:sequência

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>É x_{n+1} = (4 + 3x_n)^(1/2). 
> 
>A expressão é essa mesmo x_(n+1)=(4+3x_n)^(1/2) ok. 
Ass:Vieira 

Assim eh bem mais interessante. Para que x_(n+1) >= x_n, devemos ter que
x_n^2 -3x_n - 4 <= 0, com x_n>=0. As raizes deste trinomio do segundo grau
sao -1 e 4, de modo que teremos a desigualdade se x_n estiver em [0, 4]. 
Observamos que a funcao que explicita recursivamente x_(n+1) em termos de
x_n eh continua e estritamente crescente em seu dominio. Logo, para
argumentos em [0, 4], as imagens da funcao estao em [raiz(4), raiz(16)] =
[2, 4]. Como o termo inicial x_0 = 0 estah em [0, 4], um raciocinio indutivo
simples mostra que, para todo n, x_n estah em [2, 4], de modo que {x_n} eh
limitada superiormente por 4. E como x_n em [2, 4] implica x_(n+1) >= x_n,
concluimos que {x_n} eh limitada eh monotonicamente crescente, logo
convergente. O seu limite eh um ponto fixo da funcao recursiva x_n ->
x_(n+1), pois estah eh continua. Logo, o limite L eh uma das raizes da
equacao L = Raiz(4 + 3L), ou seja, -1 ou 4, como jah vimos. Mas como os
termos da sequencia sao todos positivos, a raiz negativa torna-se
impossivel, e temos L= 4.
(espero ter ajudado e naum confundido....)
Artur 


________________________________________________
OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================