Problema 4:
Mostre que se t1,t2,...,tn sao reais positivos e
(t1+...+tn)(1/t1 + ...
+ 1/tn) < n^2 + 1 entao (ti,tk,tk) sempre podem formar um
triangulo.
Solucao:
Vamos mostrar que se t1,t2,t3,...,tn sao reais
positivos tais que (spg) t1>t2+t3,
entao
(t1+t2+...+tn)(1/t1+ ... + 1/tn) >= n^2 + 1. (o problema
pede a contrapositiva disso).
O caso geral reduz diretamente ao caso n=3:
Sejam
a,b,c,x positivos tq a = b+c+x. Entao:
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) =
(b+c+b+c+x)( 1/(b+c+x) + 1/b + 1/c) =
(b+c)/(b+c+x) + 1 + 2[(b+c)/b +
(b+c)/c] + x(b+c)/bc
Como (b+c)/b + (b+c)/c = 2 + c/b+b/c >=
4,
LE >= 10 se (b+c)/(b+c+x) + x(b+c)/bc >= 1 sss bc(b+c) +
x(b+c)(b+c+x) >= bc(b+c+x)
sss x(b+c)(b+c+x) >= xbc que eh verdade
pq (b+c)(b+c+x) >= (b+c)^2 >= 4bc.
Para n>3, eh uma inducao boba. Suponha valido para
n.
Suponha a>b+c. Ponha A=a+b+c..+t_n-1, B = 1/a + 1/b + ... +
1/t_n-1
Entao, (a+b+c+t4+...+tn)(1/a+1/b+1/c+...+1/tn) =
(A+tn)(B+1/tn) = AB + A/tn + tnB + 1.
Agora note que A/tn + tnB
contem n-1 termos da forma ti/tn + tn/ti, e portanto essa
expressao eh >= 2(n-1).
Por hipotese de inducao, AB >=
(n-1)^2 + 1.
Logo, LE >= (n-1)^2 + 1 +2(n-1) + 1 = n^2 +
1.
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Problema 5: Quadrilatero ABCD convexo, P no interior satisfaz
<PBC>=<DBA> e
<BDA>=<PDC>. Mostre que ABCD eh inscritivel sss
AP=CP.
Solução:
Eu fiz tudo por complexos. A ida eh bem direta, mas a
volta ficou grande (nao tao
grande assim comparados a alguns da aula de complexos da preparacao pra
imo).
=> Suponha ABCD ciclico. Escolha os eixos tq
aa'=bb'=cc'=dd'=1.
<PBC>=<DBA> =>
[(p-b)/(c-b)]/[(a-b)/(d-b)] eh real =>
(p-b)(d-b)/[(c-b)(a-b)] = (p'-b')(d'-b')/[(c'-b')(a'-b')].
Usando que
c'-b'=1/c - 1/b =-(c-b)/bc, (c-b)/(c'-b')=-bc isso vira:
bd(p-b) = -cbab(p'-1/b), ou seja:
d(p-b) =
-ac(bp'-1)
Trocando b por d, a outra condicao portanto
eh:
b(p-d) = -ac(dp'-1)
Subtraindo as equacoes: p(d-b) =
-acp'(b-d), ou p + acp' = 0, ou seja, p esta na
mediatriz da corda AC, e portanto AP=AC.
<= Eu ate tentei dar um argumento geometrico baseado na ida, mas fui
incapaz e resolvi
fazer logo a conta.. Eu acho q a unica pessoa que vai ler isso tentando
entender serah
eu mesmo, daqui a uns 2 anos (como fiz recentemente p/ dar uma aula),
mas td bem. :)
Sem papel e caneta, nem pense em ler
...
Ponha a=-1, c=1, p no eixo vertical (aqui usei que
AP=CP).
<PBC>=<DBA> =>
[(1-b)/(p-b)]/[(d-b)/(-1-b)] real, donde (como
p'=-p):
(b^2-1)/[(p-b)(b-d)] =
(1-b'^2)/[(p+b')(b'-d')](i)
Analogamente,
(d^2-1)/[(p-d)(d-b)] = (1-d'^2)/[(p+d')(d'-b')] (ii)
Provar que b,-1,d,1 estao no mesmo circulo eh mostrar que
[(b+1)(d-1)]/[(b-1)(d+1)] eh real. (iii).
A estratégia
para mostrar q (i) e (ii) implicam (iii) seria:
Eliminar p
de (i),(ii)
Expandir (iii) .
Comparar/Conferir/Comparar.
Aqui eu cheguei a fazer
bastante conta mas cansei. Acho que dá para continuar e terminar (afinal,
sao soh polinomios e fatoracoes), um dia eu retomo isso (qdo for dar outra
aula de complexos provavelmente :).
Vou esperar
um pouco antes de ver solucao pra esse pra ver se depois pego essas contas e
termino (a estimativa eh uma conta com uns 64 termos de cada lado no pior
dos casos. daí tentar fatorar um (b-d) e comparar).
Abraços,
Marcio