Re: [obm-l] �lgebra

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> Gostaria que algu�m me ajudasse com os dois problemas abaixo:
>  
> *1)* Se G � um grupo tal que |G| >= 3 ent�o |Aut G| >= 2.
> *Obs.:* Tentei resolver esse problema supondo que |Aut G| < 2 e usando o 
> fato que Inn G � isomomorfo a G/Z(G), e que Inn G � um subgrupo normal 
> do grupo Aut G.   

http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/book_index.html

aqui tem a resposta, mais especificamente:
http://www.math.niu.edu/~beachy/abstract_algebra/study_guide/soln71.html#s7115

> *2)* Prove que se G <> {e} � grupo simples abeliano ent�o G � um grupo 
> c�clico de ordem prima.
> *Obs.:* Consegui mostrar que � um grupo c�clico, mas n�o consegui provar 
> que ele tem ordem prima.

se {e} < H < G ent�o H n�o pode ser normal (pois G � simples).
mas como G � abeliano g.h.g^-1 = h para todo h, em especial para todo h 
em H.

logo os �nicos subgrupos de G s�o triviais, mas isso implica que a ordem 
de G � primo (caso contr�rio h� um teorema que diz que se d|n, a ordem 
de um grupo abeliano ent�o existe um elemento deste grupo com ordem d).

se G tem ordem prima ent�o ele � c�clico.

[ ]'s
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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