RES: Um estranho limite

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

	Oi Carlos.
Naconsegui provar que a serie converge sempre que 0<x<e^(1/e), mas tenho
algo a dizer sobre o paradoxo:
	Seja a s�rie (An) definida indutivamente por Ao=x, An+1=x^(An).
Quando tento resolver a primeira equa��o, o que eu quero resolver na verdade
� a seguinte pergunta:
"Suponha que a s�rie (An) converge para L dado algum Ao=x, (i.e, para esse
Ao, tem-se lim An = L). Determine esse Ao."
1)Note que a s�rie (An) � mon�tona crescente sempre que x=Ao > 1. Logo,
nesse caso ela converge se e somente se for limitada.
2)Por outro lado, se essa s�rie converge para algum limite L, ent�o a
equa��o envolvendo An nos d� L=(Ao)^L donde L^(1/L)=Ao

	No caso particular em que Ao=x=2^(1/2) pode-se provar por indu��o que a
s�rie � convergente. De fato, temos Ao < 2. Suponha entao que para algum k
vale Ak < 2. Ent�o, Ak+1 = [sqrt(2)]^(An) < [sqrt(2)]^2 = 2.
3)	Portanto, nesse caso a s�rie e convergente e, por passagem ao limite
temos lim An =< 2. (menor ou igual). Tamb�m � claro que lim An >= sqrt(2),
pois An>=sqrt(2) sempre, j� que a sequencia nesse caso � crescente.
	Logo, usando (2) temos L^(1/L)=2^(1/2). Se n�o fosse pela observa��o (3),
poderia at� ser L=4 como no paradoxo. Mas (3) mostra que deve ser L
pertencente a [0,2].
4)	A equa��o L^(1/L)=2^(1/2) � equivalente L^2 = 2^L. Essa equa��o possui
exatamente 3 ra�zes reais distintas (Isso pode ser visto graficamente por
exemplo). Uma dessas ra�zes � 2, outra � 4 e ainda h� uma outra ra�z que �
menor do que zero.
	As observa��es (3) e (4) mostram que de fato sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2)
^sqtr(2)^....=2 e n�o 4.
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Vou tentar agora analisar a convergencia de s�rie em geral. Se 1 =< Ao <
e^(1/e), ent�o a s�rie � crescente e pode-se provar que "An < e" para todo
n.
De fato, Ao<e. Suponha ent�o An < e. Temos An+1 = Ao^An < [e^(1/e)]^An (pois
1<Ao<e => Ao^An < [e^(1/e)]^An).
E, [e^(1/e)]^An < [e^(1/e)]^e = e (pois e^(1/e) > 1 e entao f(x)=[e^(1/e)]^x
� crescente). (Obs:Tmb converge se Ao = e^(1/e))

Fica faltando analisar a converg�ncia quando 0<Ao<1 e quando Ao>e^(1/e). No
primeiro caso a sequencia deixa de ser mon�tona, e no segundo teria que
provar que dado M real, sempre � poss�vel achar algum An > M. Espero ajudas
nesses dois casos!

Abra�os,
Marcio


-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Carlos Gomes
Enviada em: Quinta-feira, 18 de Maio de 2000 00:04
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Um estranho limite


      Ol�, carps amigos, como vai tudo bem?. Estou enviando-lhes este
e-mail para que ajude-me numa
quest�o que est� engasgada a muito tempo aqui na minha garganta. Eis a
quest�o:

> Resolva as equa��es:

    x^x^x^x^.... =2  e y^y^y^y^....=4 .

Esta quest�o (principalmente a primeira equa��o) � bastante conhecida e
usamos o fato que  x^x^x^x^.... =2 para obter
x^2=2 e portanto x=sqtr(2) , por outro lado se usarmos o mesmo artif�cio
na segunda equa��o temos que y^4=4 e portanto
y=sqrt(2) o que gera um paradoxo sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2)
^....=2=4 ??????????????????????????????????. � um
fato bastente conhecido que ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^....=2 e n�o 4 ,
pois tem a hist�ria da converg�ncia da s�rie. Eu j� li
um artigo na RPM 26 ou 27 ,se n�o me engano, escrito pelo prof. Vicenzzo
Bongiovanni sobre isto e tamb�m j� li no livro do
Paul Halmos - Problems for Young and old mathematicians da MAA um artigo
sobre isto, mas o grande problema � que
em ambos artigos o intervalo de converg�ncia da s�rie n�o � demonstrado
� apenas citado, Se eu n�o estou enganado ele
afirma que a s�rie s� converge quando 0<x<e^(1/e). Como fa�o para
mostrar isto? Voc�s poderiam citar alguma refer�ncia em que posso
encontrar a discurss�o deste problema?. Muito grato pela vossa aten��o,
um abra�o,
Carlos A. Gomes -
Natal/RN