Um estranho limite

[Carlos Gomes <sebs@xxxxxxxxxxxxx>]

      Ol�, carps amigos, como vai tudo bem?. Estou enviando-lhes este
e-mail para que ajude-me numa
quest�o que est� engasgada a muito tempo aqui na minha garganta. Eis a
quest�o:

> Resolva as equa��es:

    x^x^x^x^.... =2  e y^y^y^y^....=4 .

Esta quest�o (principalmente a primeira equa��o) � bastante conhecida e
usamos o fato que  x^x^x^x^.... =2 para obter
x^2=2 e portanto x=sqtr(2) , por outro lado se usarmos o mesmo artif�cio
na segunda equa��o temos que y^4=4 e portanto
y=sqrt(2) o que gera um paradoxo sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2)
^....=2=4 ??????????????????????????????????. � um
fato bastente conhecido que ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^....=2 e n�o 4 ,
pois tem a hist�ria da converg�ncia da s�rie. Eu j� li
um artigo na RPM 26 ou 27 ,se n�o me engano, escrito pelo prof. Vicenzzo
Bongiovanni sobre isto e tamb�m j� li no livro do
Paul Halmos - Problems for Young and old mathematicians da MAA um artigo
sobre isto, mas o grande problema � que
em ambos artigos o intervalo de converg�ncia da s�rie n�o � demonstrado
� apenas citado, Se eu n�o estou enganado ele
afirma que a s�rie s� converge quando 0<x<e^(1/e). Como fa�o para
mostrar isto? Voc�s poderiam citar alguma refer�ncia em que posso
encontrar a discurss�o deste problema?. Muito grato pela vossa aten��o,
um abra�o,
Carlos A. Gomes -
Natal/RN