Transfinito e Axioma da Escolha

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Caros,
Saudações !

Complementando as instruções do Prof Wagner, é oportuno registrar que 
identificar dois elevado a "alefe zero" - o primeiro numero transfinito e 
que é a "quantidade" de inteiros e racionais - com "C", que é a "quantidade" 
de números reais é o que se chama "hipotese do continuo" e é uma questão "em 
aberto" na matematica.
Godel mostrou que a hipotese do continuo é independente dos demais axiomas 
da teoria dos conjuntos, isto é, se admitirmos a validade da hipotese do 
continuo e acrescentarmos esta validade como mais um axioma da teoria, nada 
ocorre, vale dizer, não surgira contradições... mostrou tambem que a 
reciproca e verdadeira,vale dizer, se negarmos a validade da hipotese do 
continuo e acrescentarmos esta negação como mais um axioma da teoria dos 
conjuntos também nada demais ocorrerá ... assim, a hipotese do continuo é 
independente dos demais axiomas da teoria convencional dos conjuntos(Peano).
A teoria  dos conjuntos pode ser dividida em duas partes: com o axioma da 
escolha é chamada "teoria dos conjuntos convencional". Sem o axioma da 
escolha e´chamada teoria dos conuntos restrita".Por que desta distinção ?
O "Axioma da escolha" afirma que de uma coleção de conjuntos é possivel 
escolher um elemento de cada conjunto da coleção e formar assim um novo 
conjunto". Parece Obvio ? Sim, conforme Peano pensou. Ocorre que a 
"liberdade da função de escolha" permite implicar resultados aparentemente 
contraditorios deste axioma:

Ex1 : Existe uma forma de dividir uma esfera tal que, ao remontar os 
pedaços, resultarão não uma, mas duas esferas identicas a original.

Ex2 : com duas cores, é possivel colorir os pontos de um circulo de forma 
que qualquer triangulo retangulo nele incrito não tenha dois vertices 
pintados com uma mesma cor .

Notar que todos estes resultados falam que "existe uma forma" possivel de 
fazer. Não diz "como" fazer !

Muitos matematicos ilustres, dentre os quais destaco Poincare e Hermam Weyl, 
demonstraram desconfianças com relação a este axioma e, dai em diante, quase 
todos os matematicos evitavam utilizar este axioma sob pena de não ter o seu 
trabalho bem aceito pela comunidade cientifica.
E neste ponto que entra o "Magistral Godel". Godel mostrou que:

Se a teoria convencional dos conjuntos ( que inclui o axioma da escolha ) é 
inconsistente, isto é, conduz a contradições, então a teoria restrita dos 
conjuntos ( que não inclui o axioma da escolha) também conduzira !

Vale dizer que o axioma da escolha não é o culpado por introduzir 
inconsistencias na teoria dos conjuntos

E interessante observar que muitos "absurdos aparentes", quando devidamente 
digeridos, permitiram ao ser humano fazer coisas maravilhosas. outrora era 
impossivel extrair raiz quadrada de numero negativo e tal operação era tida 
como tão absurda como a operação com a duplicação da esfera do exemplo 1 
acima, demonstrado por Tarski ... Quando passamos a compreender melhor os 
numeros complexos, a ciencia deu um salto enorme e toda a tecnologia e 
fisica contemporaneas são absolutamente inconcebiveis sem eles !... Talvez o 
mesmo ocorra com o axioma da escolha. Quando nós  aprendermos como tratá-lo, 
uma mundo espetacular pode estar nos esperando ...

abraços
Paulo Santa Rita
3,1008,200799

>From: Eduardo Wagner <wagner@impa.br>
>Reply-To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Dvida
>Date: Mon, 19 Jul 1999 22:56:48 -0300
>
> >> Nao posso dizer com certeza, pois pode ou nao ser verdade....
> >>
> >> Lembre-se que um infinito nao eh necessariamente igual a outro
> >> infinito, tanto que infinito/infinito eh indeterminado, e nao 1
> >
> >Quais são os "tipos" de infinitos classificados?
>
>Caros amigos: o "menor" infinito que conhecemos eh a quantidade
>dos numeros naturais. Este infinito eh igual a quantidade dos numeros
>inteiros e a quantidade dos numeros racionais (incrivel nao?).
>Um infinito maior que este eh a quantidade dos numeros reais. Este
>segundo infinito eh igual a quantidade dos pontos de uma circunferencia,
>e igual ao conjunto dos pontos do plano ou do espaco (mais incrivel, nao?).
>Um infinito ainda maior eh o do conjunto das funcoes de R em R. Esses
>numeros transfinitos sao muito interessantes e ate hoje nao se sabe
>se existe um infinito entre #N e #R.
>Wagner.
>
>
>


______________________________________________________
Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com