Re: Número

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, 29 Aug 1999, Dopelgänger wrote:

> > Mais seriamente, matemáticos em geral não definem número.
> > O máximo que eles fazem é construir números.
> > Um exemplo de construção para os naturais na teoria dos conjuntos
> > é o seguinte:
> > 
> > Um numero natural é um conjunto finito X com as seguintes propriedades:
> > 
> > Se Z \in Y e Y \in X então Z \in X.
> > (aqui \in significa "pertence", "é elemento de")
> > 
> > Se Z \in X e Y \in X então vale uma das três possibilidades:
> > 
> >    Z \in Y
> >    Z = Y
> >    Y \in Z
> > 
> > Chamamos o conjunto vazio de 0 (zero) e definimos
> > 
> > n + 1 = n U {n}
> 
> 0 + 1 = {} U { { } } = { { } } 
> 
> é isso???

É exatamente isso. E

2 = {{},{{}}}
3 = {{},{{}},{{},{{}}}}
4 = {{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}
...

> 
> > (aqui U significa união e {n} é o conjunto cujo único elemento é n)
> > 
> > A partir daí podemos definir as operações + e *, a ordem < e
> > demonstrar as propriedades usuais dos naturais.
> > 
> > Existem construções também para os reais, para os complexos e até
> > para classes maiores de números que incluem números infinitamente
> grandes.
> > Um exemplo de construção deste tipo é a de Conway para números surreais:
> 
> Existem números fora do conjunto dos complexos???

Existem. Os ordinais de Cantor, por exemplo, formam uma espécie
de análogo transfinito dos naturais onde depois de infinitos passos
você *continua*:

0, 1, 2, 3, ...; w, w+1, w+2, w+3, ...; w2, w2+1, ...;...;......; w^2, ...

Um ordinal é um conjunto X com as seguintes propriedades:

Se Z \in Y e Y \in X então Z \in X.
(aqui \in significa "pertence", "é elemento de")

Se Z \in X e Y \in X então vale uma das três possibilidades:

    Z \in Y
    Z = Y
    Y \in Z

São as mesmas propriedades que para naturais mas sem a restrição de o
conjunto dever ser finito. Assim

w = {0,1,2,3,...} (o conjuntodos naturais)

é o menor ordinal infinito.

> > um número é um par de conjuntos de números, que poderíamos escrever assim
> 
> Isso não é uma "definição circular", que não chega a lugar algum? Pra voce
> saber o que é um número, voce precisa antes saber o que é um número...

A definição de certa forma é circular, mas nem por isso inútil.
Veja, sempre podemos construir o número

0 = {|}

Afinal, todos os seus elementos tanto à esquerda quanto à direita são
números! Também é verdade que todos os seus elementos são vacas
esféricas...

Podemos agora continuar com

1  = {0|}
-1 = {|0}
2  = {0,1|}
-2 = {|-1,0}

> > Se alguém estiver interessado posso dar referência ou falar mais
> > sobre o assunto.

Você pode dar uma olhada em:
On Numbers and Games, J. H. Conway
Surreal Numbers, D. Knuth
ou nas minhas notas de um antigo colóquio em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/jogos.tgz

[]s, N.