Re: Problemas

[Eduardo Wagner <wagner@xxxxxxx>]

>SaudaÁžes !
>
>TrÍs Problemas - f·ceis, porČm - OlĚmpicos:
>
>
>1 ) Escrevendo a sucess“o dos n™meros naturais de 1 a 10^n quantos
>"algarismos" escrevemos ?
>2 ) Prove que em qualquer triangulo o "raio" do circulo circunscrito n“o Č
>menor que o "diametro" do circulo inscrito.
>3)  Seja ABC um triangulo. Do vČrtice A traÁa-se um segmento AD ("D" est· em
>BC)tal que BD=n*DC; do VČrtice B traÁa-se um segmento BE ( "E" est· em
>AC)tal que CE = n*EA e, finalmente, do VČrtice C traÁa-se um segmento CF (
>"F" est· em BC) tal que CF = n*FB. ApŰs esta construÁ“o surge um tri’ngulo
>na regi“o central  que n“o tem ponto em comum com o tri’ngulo ABC. Qual a
>·rea deste tri’ngulo ( em funÁ“o de "n" ) ? A ·rea do Tri’ngulo ABC Č 1.
>

Caros amigos: como a solucao de 1) ja apareceu, vamos comentar as
solucoes de 2) e 3).

2) Nao eh um problema facil. Existem diversas maneiras de chegar a
esse interessante resultado, mas sao todas bastante trabalhosas.
Para dar logo um "tiro de canhao", a distancia entre o incentro e o
circuncentro de um triangulo eh igual a "sqrt(R^2 - 2Rr)", encontrada
pela primeira vez por Euler. A partir dai, fica claro que
R^2 - 2Rr >= 0 e que R >= 2r.

3) Neste problema eh preciso trabalhar. Primeiro, devemos concluir que
a area de (ABD) eh n/(n+1) e em seguida verificar que as areas de
(ABD), (BCE) e (CAF) sao iguais.
Seja MNP o triangulo central: M = AD X CF, N = AD X BE e P = BE X CF.
Usando, por exemplo o teorema de Menelaus, calculamos a razao
AN/AD = (n + 1)/(n^2 + n + 1)  que eh igual a AP/AE e CM/CF.
o proximo passo eh concluir que as areas dos triangulos ANB, BPC e CMA
eh igual a n/(n^2 + n + 1). Dai, subtraindo essas areas do triangulo
ABC, chegamos que a area do triangulo MNP eh (n^2 - 2n + 1)/(n^2 + n + 1).