Re: [obm-l] x^2 - xy + y^2 = Cte

["Marcelo Salhab Brogliato" <msbrogli@xxxxxxxxx>]

Olá Bouskela,
suponha que o par (a, b) seja solução de x^2 - xy + y^2 = Cte
então, os pares (b, a), (-a, -b), (-b, -a) também são soluções.
Fatorando, temos: (x-y)^2 + xy = Cte.
Partindo dela, vemos que os pares (b-a, b) e (a-b, a), pois:
[(a-b)-a]^2 + (a-b)a = b^2 + a^2 - ab = Cte.
Portanto, provamos que sempre é múltiplo de 6.
Mas, se (b-a, b) e (a-b, a) são soluções, então (b, b-a) e (a, a-b) também o são.
E, seguindo, temos que (a-b, -b), (-b, a-b), (-a, b-a) e (b-a, -a) também o são.
Portanto, provamos que sempre é múltiplo de 12.
O que estou errando?

Sobre o número finito de soluções, vamos analisar esta equação em função de x, então, temos:
x = [y +- sqrt(y^2 - 4(y^2-Cte)]/2 = [y +- sqrt(4Cte - 3y^2)]/2
isto é: 4Cte >= 3y^2 .... |y| <= sqrt(4Cte/3)
então, podemos ir chutando todos os y's possíveis e ir calculando os x's.
Mas, para cada y, teremos no máximo 2 x's.. portanto, temos um número limitado de soluções.
Ainda podemos afirmar que o número de soluções é <= 2*[2sqrt(4Cte/3) + 1] = 4sqrt(4Cte/3) + 2

abraços,
Salhab

2008/6/26 Bouskela <bouskela@xxxxxxxxx>:

Demonstre que a equação:

x^2 - xy + y^2 = Cte

Onde "Cte" é uma constante inteira e positiva.

Tem um número FINITO de soluções inteiras; e mais: ESTE NÚMERO É MÚLTIPLO DE "6".

A depender do valor da constante inteira e positiva "Cte", o número de soluções inteiras desta equação é:

= 0 , p.ex.: Cte = 2, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 23, 24, 26, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 38, 40, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 65, 66, 68, 69, 70, 71, 72, 74, 77, 78, 80, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 92, 94, 95, 96, 98, 99 etc.

= 1 , Cte = 0

= 6 , p.ex.: Cte = 1, 3, 4, 9, 12, 16, 25, 27, 36, 48, 64, 75, 81, 100 etc.

= 12 , p.ex.: Cte = 7, 13, 19, 21, 28, 31, 37, 39, 43, 52, 57, 61, 63, 67, 73, 76, 79, 84, 93, 97 etc.

= 18 , p.ex.: Cte = 49 etc.

= 24 , p.ex.: Cte = 91 etc.

Sds.,

AB