Re: [obm-l] (UNB) EXPRESSÕES

["Rogerio Ponce" <abrlwsky@xxxxxxxxx>]

Ola' pessoal,
a ultima coisa a se pensar seria no desenvolvimento do quadrado de
qualquer uma das expressoes.
Fica mais simples usarmos o fato de que as diferencas entre termos
consecutivos de uma PA e' constante.
Assim, aparecerao diferencas entre quadrados, que poderao ser fatoradas...

Ou seja,
(x^2+2x-1)^2 - (x^2+1)^2 = (x^2+1)^2 - (x^2-2x-1)^2

Fatorando, obtemos:
[(x^2+2x-1) - (x^2+1)] * [(x^2+2x-1) + (x^2+1)]  =
[(x^2+1) - (x^2-2x-1)] *  [(x^2+1) + (x^2-2x-1)]

Simplificando vem
[2x-2] * [2x^2 + 2x] = [2x+2] * [2x^2 - 2x]

Fatorando mais um pouco, e dividindo cada lado por 4, vem:
(x-1)*(x+1)*x = (x+1)*(x-1)*x
que e' verdadeiro para qualquer "x".

Como o caminho inverso sempre pode ser feito, concluimos que os termos
originais formam uma PA.

[]'s
Rogerio Ponce

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PS: esse problema me faz lembrar de algo importante:

O fato obtermos um resultado verdadeiro ao "trabalharmos" uma
expressao, nao torna necessariamente verdadeira a expressao original.

E' fundamental que se possa fazer o caminho inverso, caso contrario,
poderiamos "provar" que "-1=1"...
Exemplo:
Suponha que -x = x
Obviamente isso e' valido para x=0.
Mas se em vez de calcular o valor de x neste ponto, elevarmos os dois
lados ao quadrado, obteriamos
x^2 = x^2, que e' valido, por exemplo, para x=1.
E assim, usando a expressao original, "provariamos" que -1=1.

[]'s
Rogerio Ponce

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2008/6/28 arkon@xxxxxxxxxx <arkon@xxxxxxxxxx>:
> ALGUÉM PODE RESOLVER, POR FAVOR
>
>
> (UnB) Os quadrados das expressões x^2-2x-1, x^2+1, x^2+2x-1 estão em
> progressão aritmética?
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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