Re: [obm-l] Sequência convergente ?

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Gustavo,

Fazendo f(x) = x, obtemos dois pontos fixos, x1 < x2. Vemos que, aproximadamente, |x2| > |x1| > 0.5 (não importa o valor exato).

O teorema do valor médio nos diz que, num intervalo (a, b), existe c tal que: (f(b) - f(a)) / (b - a)  = f'(c).
Seja então um intervalinho ao redor de x1. Nesse intervalo, |f'(x)| > 1. Assim, para quaisquer dois pontos nesse intervalinho, digamos, x e x1, temos: |(f(x) - f(x1))| / |(x - x1)| > 1  <==> |f(x) - x1| > |x - x1|, ou seja, f afasta de x1 qualquer ponto próximo a x1. Raciocínio análogo nos leva à mesma conclusão para x2.

Assim, os dois pontos fixos são repulsivos.

Se vc quiser então saber quais são os pontos iniciais que geram uma sequencia convergente, que converge a x1, é a órbita da seqüência f^(-1) (x1). (opere com conjuntos aqui, pois estamos tratando de uma função não inversível).


Agora quanto aos pontos 0 e -1.

Considere g = fof. Os pontos fixos de g são então: x1, x2, 0 e -1. Se f já afastava de x1 um ponto em suas proximidades, nem se fale g! Afasta ainda mais rápido (basta utilizar a regra da cadeia e o fato de f ser contínua, e aplicar o teorema do valor médio numa proximidade de x1 para ver isso). Porem a história é outra para 0 e -1.

Temos: g'(x) = f'(f(x)) * f'(x). Tudo aí é contínuo, logo também g' é contínua. Temos: g'(0) = f'(-1) * f'(0) = g'(-1) = 0. Assim, nas proximidades de 0 (ou -1, mas vou omitir pois é análogo), a derivada, em módulo, não ultrapassa um valor µ, 0 < µ < 1. Aplicando o teorema do valor médio, chegamos a: |g(x) - 0| < |x - 0|, isto é, g aproxima de 0 um ponto numa sua vizinhança. Assim, 0 e -1 (demonstração análoga para -1) são pontos fixos atrativos de g. Logo, não sendo fixos de f, formam uma órbita de tamanho 2, órbita essa que vai atrair pontos próximos a ela.



Deixo para você agora analisar qual é o conjunto dos pontos de partida que geram uma seqüência que converge para x1, para x0, e quais são os pontos de partida que geram uma seqüência que diverge para +oo.

Bruno

2008/6/12 Gustavo Simoes Araujo <gustavo.simoes1@xxxxxxxxx>:

Ola Pessoal,

       Estou tentando fazer um problema e não consigo. Será que vocês poderiam me ajudar ? O problema é o seguinte...

a) - Seja f(x) = x^2 -1. Mostre que f admite um ponto fixo no domínio D a definir. Seja a sequência u_n+1=f(u_n), u_0 pertencente à D. Qual a ordem de convergência de u_n ?

       Meu problema é básico, não consigo provar que a sequência é convergente. Se eu uso como valor inicial u_0 um numero entre  -(1+ raiz(5))/2 < u_0 < (1+raiz(5))/2  meu problema "converge" para os valores 0 e -1, que se alternam a cada interação. Se eu escolher um numero maior que mod (u_0) > (1+raiz(5))/2 a sequência diverge.... Estou fazendo algum erro ? Ou não tem sentido pedir para calcular a ordem de convergência para esta sequência ?

Valeu abraços,

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Gustavo Simões Araújo

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Bruno FRANÇA DOS REIS

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e^(pi*i)+1=0