Re: [obm-l] Trigonometria

["Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

2008/5/26 Pedro Júnior <pedromatematico06@xxxxxxxxx>:
> Sabendo-se que sen1° .sen3° .sen5°. ... .sen85°. sen87°. sen89° = 1/(2^n),
> mostre que n<45.
Hum, isso de PA com trigonometria tem cara de manha...

> Tentei tudo só ainda não vi um caminho que me levasse até o final da questão
> cheguei a ensaiar o aparecimento das potências de 2 no denominador, mas, não
> conseguio fechar o problema.
Cara, ainda bem que você deu a idéia de fazer aparecer potências de 2
! Eu tentei fazer umas coisas meio "na força" mas só saía desigualdade
do lado errado ! Bom, com a idéia de PA mais as potências de 2, eu
tentei foi números complexos :

sen k° = [exp(k pi * i /180) - exp(-k pi * i /180) ] /2i

Deixando um tempo pra quem quiser parar aqui e tentar, vamos então
fazer as contas na mão :

O teu produto P = prod [exp( (2k+1) pi * i /180) - exp( -(2k+1) pi * i
/180) ] /2i para k=0..44
o que dá 2^(-45)/i prod [exp( (2k+1) pi * i /180) - exp( -(2k+1) pi *
i /180) ] k=0..44 (olha o 2 aí, que sorte)

Bom, vamos tentar resolver por partes :

P = 2^(-45)/i prod [ 1 - exp( -(2k+1) pi * i /90) ] k=0..44  prod exp(
(2k+1) pi * i /180) k=0..44
 = 2^(-45)/i prod [ 1 - exp( -(2k+1) pi * i /90) ] k=0..44  exp( soma
(2k+1) k=0..44  pi * i /180)
 = 2^(-45)/i prod [ 1 - exp( -(2k+1) pi * i /90) ] k=0..44  exp( 45*45
 pi * i /180)

é aqui que vai entrar a grande malvadeza da questão (pelo menos nesse
jeito de resolver)

multiplique P pelo seu conjugado (a gente sabe que P é real, então
isso não vai perder nada de info pra gente, e vai mandar um monte de
gente embora)

P * Pbarra = 2^(-45)/i * 2^(-45)/-i * prod [ 1 - exp( -(2k+1) pi * i
/90) ] [ 1 - exp( (2k+1) pi * i /90) ] k=0..44  exp( 45*45  pi * i
/180) exp( -45*45  pi * i /180) =  2^(-90) * prod [ 1 - exp( -(2k+1)
pi * i /90) ] [ 1 - exp( (2k+1) pi * i /90) ] k=0..44  (moral da
história : mandamos um monte de gente de norma 1 que estava
multiplicando embora)

Mas é aqui que acontece uma mágica : perceba que o produtório é "F(1)"
onde F(x) é o polinômio que tem raízes  exp( -(2k+1) pi * i /90) e
suas conjugadas. Ora, essas são as raízes 180-ésimas da unidade que
não são raízes 90-ésimas da unidade (lembre-se, as raízes são p-ésimas
quando são da forma e^(2 k pi *i / p), como tá "faltando" o 2
multiplicando tudo, você multiplica o 90 por dois ; jeito rápido de se
lembrar : -1 é raiz quadrada da unidade, e é da forma e^(pi i), sem
denominador !). Ora, o polinômio que tem as raízes 180-ésimas da
unidade é x^180 - 1, as raízes 90-ésimas é x^90 - 1, e portanto o
nosso polinômio F é (x^180 - 1) / (x^90 - 1) = x^90 + 1. Logo F(1) = 2
e P * Pbarra = 2^(-90)*2. E finalmente, P = 2^(-44.5).

> Aguardo ansiosamente a resolução de tal problema, abraço a todos.
Se alguém enviar uma solução sem fazer todas as contas, seria bem
instrutivo ! (mesmo que eu ache que talvez dê mais trabalho numa prova
ter uma idéia muito mirabolante)

> Pedro Jr

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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