Re: [obm-l] Número

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

Acho que dá para acelerar um tiquinho assim:

 

i) Caso c=9.

Então N>=c^3=729; daqui a>7, e a^3>=7^3>=343. Portanto, N>=a^3+c^3>1000, absurdo.

 

ii) Caso c<9. Aí:

 

N=100a+10b+c=a^3+b^3+c^3

N+1=100a+10b+(c+1)=a^3+b^3+(c+1)^3 (pois c+1 é o último dígito, sim)

 

Subtraindo uma da outra, sai c=0 (pois c=-1 não presta). Então a gente tem que resolver:

 

100a+10b=a^3+b^3 ou seja a(100-a^2)=b(b^2-10). Em particular, note que o lado esquerdo é positivo, então devemos ter b>=4. Agora eu ia na força bruta (fazendo 15 ao invés de 100 contas): os possíveis valores da primeira expressão são (fazendo a=1,2,...,9): 99, 192, 273, 336, 375, 384, 357, 288 e 171. Os possíveis valores da segunda (fazendo b=4,5,6,7,8,9): 24, 75, 156, 273, 432, 639. O único elemento comum é 273, então a=3 e b=7, que nem o pessoal achou.

 

Abraço,

 Ralph

 

2008/4/30 Henrique Rennó <henrique.renno@xxxxxxxxx>:

Ola Joao Gabriel,

Acredito que o numero N seja 370 e portanto a resposta e' 8, pois seus divisores sao 1, 2, 5, 10, 37, 74, 185, 370.

Seja N = abc, tem-se abc = a^3 + b^3 + c^3

1) Se 0 <= c <= 8 entao ab(c+1) = a^3 + b^3 + (c+1)^3

2) Se c = 9 e 0 <= b <= 8 entao a(b+1)0 = a^3 + (b+1)^3

3) Se c = 9 e b = 9 e 1 <= a <= 8 entao (a+1)00 = (a+1)^3

4) Se c = 9 e b = 9 e a = 9 entao 1000 = 1^3

Na condicao 1) tem-se:

ab(c+1) - abc = a^3 + b^3 + (c+1)^3 - (a^3 + b^3 + c^3)
1 = a^3 + b^3 + c^3 + 3c^2 + 3c + 1 - a^3 - b^3 - c^3
3c^2 + 3c = 0
c(c+1) = 0

c = -1 nao e' possivel

Se c = 0 deve-se testar as possibilidades. Como N termina em 0 tem-se que a^3 e b^3 terminam em digitos que somados resulta em 10, ou seja, 1+9 ou 2+8 ou 3+7 ou 4+6 ou 5+5.

1^3 = 1
2^3 = 8
3^3 = 27
4^3 = 64
5^3 = 125
6^3 = 216
7^3 = 343
8^3 = 512
9^3 = 729

Testando os valores de a^3 + b^3, onde os ultimos digitos de a^3 e b^3 somados resulta em 10:

O simbolo != significa "diferente".

ultimos digitos: 1 + 9 ==> a = 1 e b = 9 ==> a^3 + b^3 = 1^3 + 9^3 = 1 + 729 = 780 != 190
ultimos digitos: 2 + 8 ==> a = 8 e b = 2 ==> a^3 + b^3 = 8^3 + 2^3 = 512 + 8 = 520 != 820
ultimos digitos: 3 + 7 ==> a = 7 e b = 3 ==> a^3 + b^3 = 7^3 + 3^3 = 343 + 27 = 370 != 730
ultimos digitos: 4 + 6 ==> a = 4 e b = 6 ==> a^3 + b^3 = 4^3 + 6^3 = 64 + 216 = 280 != 460
ultimos digitos: 5 + 5 ==> a = 5 e b = 5 ==> a^3 + b^3 = 5^3 + 5^3 = 125 + 125 = 250 != 550
ultimos digitos: 6 + 4 ==> a = 6 e b = 4 ==> a^3 + b^3 = 6^3 + 4^3 = 216 + 64 = 280 != 640
ultimos digitos: 7 + 3 ==> a = 3 e b = 7 ==> a^3 + b^3 = 3^3 + 7^3 = 27 + 343 = 370 = 370 OK!
ultimos digitos: 8 + 2 ==> a = 2 e b = 8 ==> a^3 + b^3 = 2^3 + 8^3 = 8 + 512 = 520 != 280
ultimos digitos: 9 + 1 ==> a = 9 e b = 1 ==> a^3 + b^3 = 9^3 + 1^3 = 729 + 1 = 730 != 910

Como encontramos uma resposta para o caso 1 nao seria necessario verificar os casos 2, 3 e 4.

Assim, N = 370.

2008/4/30 João Gabriel Preturlan <jgpreturlan@xxxxxxxxxx>:

Preciso de ajuda:

 

Um número natural N de três algarismos é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Um número N+1 tem a mesma propriedade. Qual é o número de divisores inteiros de N?

 

a)4

b)6

c)8

d)12

e)16

 

Desde já agradeço.

 

JG.

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Henrique