[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
From: "Paulo Santa Rita" <paulo.santarita@xxxxxxxxx>
Date: Tue, 8 Apr 2008 08:16:59 -0300
Dkim-signature: v=1; a=rsa-sha256; c=relaxed/relaxed; d=gmail.com; s=gamma; h=domainkey-signature:received:received:message-id:date:from:to:subject:in-reply-to:mime-version:content-type:content-transfer-encoding:content-disposition:references; bh=M2+ylgZcVm99TJZZko9EdNq5EJYwGa2UFYKDQWk/BuM=; b=mvxNj65gA7h6/nnzTpfwWuvntgq8UVSw7Apf+TkyQ8S0PVnr9+SInNfeTj+ePpOMZl1Hkhv6stzHYsoodqrHm+aUTP0vauNa5u79bEcMXv+57UuJjiKBkOLeOUuaS/OYOhPI9esRNOKCfmM7DNLAKvD6+Nl4O4KDnvABNU5ijFw=
Domainkey-signature: a=rsa-sha1; c=nofws; d=gmail.com; s=gamma; h=message-id:date:from:to:subject:in-reply-to:mime-version:content-type:content-transfer-encoding:content-disposition:references; b=v7JfndJwghzD+hYasZDYfJD8Wt0igkWG7QQxCe5luSdq3WOGfBYly1K6sSYlMeY1//aSjzLl+L1QPHSyauwFqzG9TGIiRpEo6BevVzfqEvJGvZY+i6nTTw6A7HFoqmsbwgp80FKqN7dMQfFweSQIp+nNpp9+DXiQt7RUyW1Nee8=
In-reply-to: <E4C89EA639092445A78832509143CCB83908933D3A@xxxxxxxxxxxxxxxx>
References: <1bcd8af0804042347q6bdfe66fw57aec9b4552e6366@xxxxxxxxxxxxxx> <E4C89EA639092445A78832509143CCB83908933D3A@xxxxxxxxxxxxxxxx>
Reply-to: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

Ola carissimo Artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Artur, aqui vai uma ideia que passo pra voce analisar :

Seja Xn = 1 + N + ( (N^2)/2!) + ( (N^3)/3!) + ... + ((N^N)/N!). Entao
e^N = Xn + RL, onde
RL e o RESTO DE LAGRANGE. Segue daqui o seguinte :

Xn/(e^N) = 1 - ((RL)/(e^N))  => LIM Xn/(e^N) = 1 - LIM ((RL)/(e^N))

Um Estudo do LIM ((RL)/(e^N)) mais as propriedade de Y(X)=e^X resolve a questao.

EM TEMPO : Seria INTERESSANTE um estudo geral dos limites de expressoes como
esta, onde temos um quociente entre uma funcao, considerada somente em
seus valores
naturais, e a sua serie de Taylor, tambem considerada somente em
"pontos naturais".

Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
3,080A,080408

2008/4/7 Artur Costa Steiner <artur.steiner@xxxxxxxxxx>:
> Gostei do argumento!
>  Vou pensar na questao do "meio da serie". De imediato, nao sei.
>  Abracos
>  Artur
>
>  -----Mensagem original-----
>  De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
>  nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa
>  Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 03:48
>  Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
>  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
>  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>
>
>  O difícil desse argumento é a famosa "convergência uniforme". Eu acho
>  (como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está
>  certo, um pouco pelo fato de "parecer meio roubado" pegar o limite
>  assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco
>  acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos
>  "importantes" da soma estão "no meio" da série... e a gente truncou !
>  Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma
>  prova de que a resposta é 1/2 !!!!) :
>
>  Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o
>  n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e
>  a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e
>  a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1).
>
>  Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira
>  mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica :
>
>
>  (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n)
>  + ...
>  + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)
>  + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)
>  + (1 - 1/n )(1 - 2/n )
>  + (1 - 1/n )
>  + 1 + 1 ( os "termos do meio" n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! )
>  + (1 - 1/(n+1) )
>  + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )
>  + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )
>  + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) )
>  + ...
>
>  Note que quando n -> inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra
>  1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os "de baixo" convergem para
>  os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar
>  isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha
>  perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos
>  "depois" aos termos "antes" do meio e com isso "dá pra ver" que na
>  verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para
>  e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da
>  convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a
>  soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma
>  PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo "depois", mas veja que
>  tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar
>  errado com n -> infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como
>  os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple
>  / mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em
>  torno!)
>
>  Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do "meio da série" ?
>  Rogério : passo a bola pra você me convencer !
>
>  Abraços,
>  --
>  Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>  2008/4/5 Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>:
>  > Oi Marcelo,
>  >  quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
>  >  Nehab tambem vai :-)
>  >
>  >  Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo.
>  >
>  >  A questao original e' calcular
>  >
>  >  lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>  >
>  >  Repare que o segundo fator corresponde aos "n" primeiros termos da
>  >  expansao de Taylor para "e^n".
>  >
>  >  O que eu sustento e' que, quando "n" vai para infinito, o segundo
>  >  fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para "e^n". E neste
>  >  ponto, tanto faz que o "n" desse tal fator "e^n" esteja no infinito ou
>  >  nao, porque ele se anula com o "-n" do primeiro fator e^(-n).
>  >
>  >  Em outras palavras, a expressao valera'  e^(-n) * e^(n) = 1 ,
>  >  simplesmente porque "aquele" segundo termo alcancou o valor de e^n.
>  >
>  >  Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
>  >  apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
>  >  estabeleco que o limite vale 1.
>  >
>  >  Grande abraco,
>  >  Rogerio Ponce.
>  >
>  >
>  >
>  >  Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato<msbrogli@xxxxxxxxx> escreveu:
>  >
>  >
>  > > Olá Ponce, quanto tempo...
>  >  >
>  >  > eu penso um pouco diferente, vejamos:
>  >  >
>  >  > e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>  >  > não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
>  >  >
>  >  >  vejamos:
>  >  > 1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>  >  >
>  >  > lim {x->inf} e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>  >  >
>  >  > lim {x->inf} lim {u->inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>  >  >
>  >  >  vou chamar x de n, entao:
>  >  > 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
>  >  >
>  >  > ou então:
>  >  > 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
>  >  >
>  >  > agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
>  >  >  lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
>  >  > {n->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
>  >  >
>  >  > se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
>  >  >
>  >  >  abraços,
>  >  > Salhab
>  >  >
>  >  >
>  >  >
>  >  > 2008/4/4 Rogerio Ponce <abrlwsky@xxxxxxxxx>:
>  >  >
>  >  > > Oi Artur,
>  >  > > minha conclusao e'  que vale o mesmo que
>  >  > > e^(-n) * e^(n) = 1.
>  >  > > []'s
>  >  > > Rogerio Ponce
>  >  > >
>  >  > >
>  >  > >
>  >  > > Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
>  >  > >
>  >  > >
>  >  > >
>  >  > > > Mas como concluir que é 1/2?
>  >  > > >
>  >  > > > Artur
>  >  > > >
>  >  > > >  -----Mensagem original-----
>  >  > > >  De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
>  >  > > >  nome de Rogerio Ponce
>  >  > > >
>  >  > > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
>  >  > > >
>  >  > > > Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
>  >  > > >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
>  >  > > >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>  >  > > >
>  >  > > >
>  >  > > >  Ola' Artur,
>  >  > > >  acho que e' mais simples que voce imagina.
>  >  > > >  O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
>  >  > > >  E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
>  >  > > >  aproxima da expansao de Taylor.
>  >  > > >  No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
>  >  > expressoes.
>  >  > > >  []'s
>  >  > > >  Rogerio Ponce
>  >  > > >
>  >  > > >
>  >  > > >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
>  >  > > >  > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
>  >  > x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
>  >  > =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
>  >  > termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
>  >  > complicado.
>  >  > > >  >
>  >  > > >  >  Artur
>  >  > > >  >
>  >  > > >  >
>  >  > > >  >  -----Mensagem original-----
>  >  > > >  >  De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em
>  >  > > >  >  nome de Rogerio Ponce
>  >  > > >  >  Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
>  >  > > >  >  Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
>  >  > > >  >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
>  >  > > >  >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>  >  > > >  >
>  >  > > >  >
>  >  > > >  >
>  >  > > >  >  Oi Artur,
>  >  > > >  >  a expansao de Taylor para e^n vale
>  >  > > >  >  e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
>  >  > > >  >  Assim, esse limite deve ser igual a 1.
>  >  > > >  >  []'s
>  >  > > >  >  Rogerio Ponce
>  >  > > >  >
>  >  > > >  >
>  >  > > >  >
>  >  > > >  >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<artur.steiner@xxxxxxxxxx> escreveu:
>  >  > > >  >  >
>  >  > > >  >  >
>  >  > > >  >  >
>  >  > > >  >  >
>  >  > > >  >  > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
>  >  > soluções,
>  >  > > >  >  > mas não deu certo.
>  >  > > >  >  >
>  >  > > >  >  > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
>  >  > integral, mas não
>  >  > > >  >  > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
>  >  > aplicar o
>  >  > > >  >  > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
>  >  > Também não
>  >  > > >  >  > consegui ver como.
>  >  > > >  >  >
>  >  > > >  >  > Alguem tem alguma sugestao?
>  >  > > >  >  >
>  >  > > >  >  > Abracos
>  >  > > >  >  > Artur
>
>  =========================================================================
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>  =========================================================================
>
>  =========================================================================
>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>  =========================================================================
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================

Follow-Ups:
- RES: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
  - From: Artur Costa Steiner

References:
- Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
  - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa
- RES: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
  - From: Artur Costa Steiner

Prev by Date: [SPAM] Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a sequencia dos primos
Next by Date: [SPAM] [obm-l] [Off-Topic] Por que não chega?
Previous by thread: RES: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Next by thread: RES: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
Index(es):
- Date
- Thread