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Re: [obm-l] Exercicios de Analise 4
Ola Marcelo e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Em primeiro lugar, obrigado : palavras de incentivo nos motivam a prosseguir.
A ideia me parece muito boa por tres razoes :
1) Todas as solucoes ficariam armazenadas em um "mesmo lugar", o que
facilitaria consultas.
2) Outras pessoas poderiam aperfeicoar e/ou corrigir as provas
3) Esta nossa lista receberia o link a medida que eu fosse postando as solucoes.
Um problema que ocorre e que eu so posso ir colocando as solucoes na
medida em que vou arranjando tempo livre, o que significa que eu posso
ficar, as vezes, varias semanas sem publicar nada. Se estas ausencias
nao ijmplicarem algum problema maior, podemos tocar este projeto ( o
Arthur Steiner, que gosta muito de Analise, pode querer ajudar. E bom
perguntar a ele ), sem problemas
Eu nao tenho nenhum interesse financeiro, holofotes naome atraem e so
desejo contribuir para o progresso e elevacao desta maravilhosa
ciencia : sou um Matematico, do dedao do pe ate os cabelos da cabeca.
Alem disso, tenho uma divida de gratidao tanto para com o Nicolau, que
aqui me recebeu com lhaneza, respeito e dignidade bem como com outros
professores, com os quais aprendi muito ( Ralph, Gugu, Eduardo Wagner
e o falecido Morgado, so para citar alguns ). Assim, esta lista estara
sempre sob os meus cuidados, mesmo que muitas vezes, por falta de
tempo, eu nao possa dar a ela a devida atencao.
Um Abracao
Paulo santa Rita
7,0B23,050408
Muitos estudantes de outros paises da America do Sul e mesmo de outros
paises costumam nos acompanhar. Vi isso quando traduzi os problemas
russos e recebia em off muitos pedidos.
2008/4/4 Marcelo Salhab Brogliato <msbrogli@xxxxxxxxx>:
> Olá Paulo,
>
> gostaria de parabenizá-lo pelas soluções. Tem o interesse de postar estas
> soluções diretamente em uma wiki?
> Você utilizaria os benefícios do Latex, de forma prática e que fica
> disponível para toda a comunidade, não sendo necessário procurar nos
> arquivos da lista. E para enviar para a lista, basta postar o link. ;)
>
> Pensei em criarmos alguma coisa assim:
> == Análise na reta - Elon ==
>
> * Capítulo 1
> ** Exercício 1
> ** Exercício 2
> ** :
> * Capítulo 2
> ** ...
>
> e assim por diante.
> Se quiser, crio para você e mando o link por pvt.
>
> Um grande abraço,
> Salhab
>
>
> 2008/4/3 Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx>:
> >
> >
> >
> > Ola Pessoal,
> >
> > Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do
> > excelente Livro :
> >
> > Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA
> > 11 edicao - 2 impressao
> > Autor : Elon Lages Lima
> >
> > Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao
> > assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores,
> > principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples.
> > Entretanto, algumas pessoas me escreveram "em off" e pediram que eu
> > publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3
> > exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que
> > achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes :
> >
> >
> >
> >
> > NOTACAO : A letra "lambda" sera representada nestes exercicios por
> > "m". Os simbolos de uniao e intersecao serao representados
> > respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos ">" e "<"
> > representarao, respectivamente, "contem" e "esta contido". O Simbolo
> > de "pertence a" sera representado pela letra "E" e "f_a" representa a
> > letra "f" com indice "a". A barra "/" representara a expressao "tal
> > que"
> >
> >
> >
> > ( EXERCICIO 1.14)
> >
> > NOTACAO : Seja f : A -> B uma funcao. Se Y < B, f(-1)(Y) sera o
> > conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y
> > ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por
> > f(-1)(b)
> >
> > ITEM A :
> >
> > Seja X < A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) => a E f(-1)(b) => a
> > E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) => f(-1)( f(X) ) > f(-1)(f(a))
> > => a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X => a E f(-1)( f(X) ). Isto
> > estabelece que X < f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X < A, tal como
> > queriamos demonstrar.
> >
> > ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se
> > para demonstrar que f(-1)(f(X)) < X para todo X < A. Isto e
> > evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} ->{4,5,6
> > } tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que
> > f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X
> >
> > ITEM B :
> >
> > No item anterior, mostramos que se f:A -> B e uma funcao qualquer
> > entao para todo X < A, f(-1)( f(X) ) > X. Agora, supondo que f:A->B e
> > injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) < X. Faremos isso
> > por reducao ao absurdo.
> >
> > Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests
> > caso, existe um "a" E f(-1)( f(X) ) tal que "a" NAO PERTENCE a X,
> > vale dizer, existe "b" E f(X) tal que b=f(a) mas "a" NAO PERTENCE a X.
> > Como "b" E f(X), existe "c" E X tal que b=f(c). Assim, existem "a" e
> > "c", a # c, tal que f(a) = f(c) = b => f nao e injetiva ... ABSURDO
> > !
> >
> > Portanto, f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) < X, para todo X < ªA.
> > Como f(-1)( f(X) ) > X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou
> > não, segue que :
> >
> > f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) = X
> > IMPLICACAO 1
> >
> > Agora, suponhamos que f: A -> B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X)
> > )=X para todo conjunto X < A. Queremos mostrar que f:A -> B e
> > injetiva.
> >
> > Suponha que f:A->B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais
> > que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e
> > que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo :
> >
> > f(-1)( f(X) ) = X, para todo X < A => f:A->B injetiva IMPLICACAO 2
> >
> > As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A->B e injetiva se, e somente
> > se, f(-1)(f(X))=X, para todo X < A, tal como queriamos demonstrar.
> > ( EXERCICIO 1.18 )
> >
> > ITEM A :
> >
> > Claramente que "Xm < UNI Xm", qualquer que seja "m". Aplicando a
> > propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) > f(UNI Xm), qualquer que
> > seja o "m". Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao :
> >
> > INTER f(Xm) > f(UNI Xm ). INCLUSAO 1
> >
> > Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) > INTER f(Xm), qualquer que
> > seja o "m". Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos,
> > sucessivamente :
> >
> > f( f(Xm) ) < f( INTER f(Xm)) => Xm < f( INTER f(Xm)) qualquer que
> > seja o "m" =>
> > UNI Xm < f( INTER f(Xm)) => UNI Xm < f(INTER f(Xm)) =>
> > f(UNI Xm) > f( f (INTER f(Xm))) => f(UNI Xm) > INTER f(Xm) <=>
> >
> > INTER f(Xm) < f(UNI Xm) INCLUSAO 2
> >
> > As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como
> > queriamos demonstrar.
> >
> >
> > ***
> >
> >
> > ITEM B :
> >
> > Claramente Xm > INTER Xm, qualquer que seja o "m". Segue, da
> > propriedade da funcao, que f(Xm) < f(INTER Xm), qualquer que seja o
> > "m". Portanto :
> >
> > UNI f(Xm) < f( INTER Xm) INCLUSAO 1
> >
> > Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) < UNI f(Xm), qualquer que
> > seja o "m". Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao,
> > vem :
> >
> > f(f(Xm)) > f(UNI f(Xm)) => Xm > f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o "m" =>
> > INTER Xm > f(UNI f(Xm)) => f( INTER Xm) < f ( f(UNI f(Xm))) =>
> > f( INTER Xm ) < UNI f(Xm) <=>
> >
> > UNI f(Xm) > f( INTER Xm) INCLUSAO 2
> >
> > As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como
> > queriamos demonstrar.
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > ( EXERCICIO 1.21 )
> >
> >
> > Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A
> > -> F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento "a" E A, existe uma
> > funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a
> > e uma funcao f_a : B -> C, isto e, qualquer que seja o elemento "b" E
> > B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida.
> >
> > Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem definida para
> > todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida
> > por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por :
> >
> > f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b)
> >
> > Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G :
> >
> > 1) e INJETIVA
> >
> > Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 # f2 e sejam f*1=G(f1) e
> > f*2=G(f2). Neste caso, existe "a" E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e
> > f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe "b" E B tal que :
> >
> > f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b) => f*1(a,b) # f*2(a,b) =>
> > G(f1) # G(f2)
> > Assim : f1 # f2 => G(f1) # G(f2)
> >
> >
> > 2) e SOBREJETIVA
> >
> > Dado f* E F(AxB;C). Para cada "a" E A definimos f_a : B -> C pondo
> > f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que
> > f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela
> > aplicacao G já definida.
> >
> > Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma
> bijecao.
> >
> >
> >
> > Um Abraco a Todos
> > Paulo Santa Rita
> > 5,0E06,030408
> >
> >
> > =========================================================================
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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> >
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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