Re: [obm-l] mdc

["Bernardo Freitas Paulo da Costa" <bernardofpc@xxxxxxxxx>]

A idéia é exatamente esso, mas tem um detalhe sórdido : como você
mesmo mostrou, o mdc tem que dividir 3ab e (a+b) ao mesmo tempo (já
que se ele divide a+b ele vai dividir também o resto, que é (a+b)^2).
Se a+b for múltiplo de 3, então o mdc é *no mínimo* 3. O que faltou
foi ver que não pode ser maior do que isso, e é aí que entra a parte
de "a e b são primos entre si". Vejamos : se o mdc tiver algum outro
fator, m por exemplo, como ele divide 3ab (é ótimo ter uma parcela
fatorada pra calcular mdcs!) ele divide 3, a, ou b (não
necessariamente exclusivo). Bom, como o "3" já foi contado, ele divide
a ou b. Podemos supor que divide a (o outro caso é simétrico!). Como é
mdc, ele divide também, a+b. Como m divide a e m divide a+b, m divide
(a+b) - a = b (esse truque é ótimo, e ajuda a simplificar as contas, e
foi bem o que o Saulo fez). Mas daí m divide a e b, e como eles são
primos entre si, m = 1. A gente provou então que se tem um fator que
divide 3ab e a+b ao mesmo tempo, ele não divide nem a nem b. Então,
ele divide 3, e é 1 ou 3. Daí, a gente prova uma coisa um tiquinho
mais forte : o mdc é 3 se e somente se a+b é múltiplo de 3 !

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

2008/3/27 saulo nilson <saulo.nilson@xxxxxxxxx>:
> (a^2+b^2-ab)/(a+b)=((a+b)^2-3ab)/(a+b)
> o maximo divisor comum e o maior numero que nos podemos por em evidencia no
> numerador e no denominador da divisao acima.
> a+b=pode ser multiplo 3
> entao mdc(a+b,a²-ab+b²) =1 ou 3
>
> 2008/3/27 Eder Albuquerque <eder_mat@xxxxxxxxxxxx>:
>
>
>
> >
> > Pessoal, o problema a seguir caiu numa prova  de teoria dos números que
> fiz ontem e foi a única dúvida...
> >
> > Provar:
> >
> > mdc(a,b)= 1   =>  mdc(a+b,a²-ab+b²) =1 ou 3
> >
> > Agradeço se alguém mostrar como se prova.
> >
> > Eder
> >
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> armazenamento!

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