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Re: [obm-l] combinatoria dificil
Não é tão escabroso quanto parece:
19H + 13M = 1000
Módulo 13, temos
19H=1000
7H=1000=-14
H=-2=(mod 13)
Entao H=13x+2
Substitui:
19(13x+2) + 13M = 1000
247x+13M=962
19x+M=74
M=74-19x
H=13x+2
Agora que parametrizou, faz com que ambos sejam positivos, ou 74-19x>0
74>19x
x<74/19<4
Bem, daí é só testar!
Em 24/03/08, Fernando<artesmatematica@xxxxxxxxx> escreveu:
>
>
> Oi João Victor, a questão é que eu já havia escrito esta equação. Acontece
> que ela é "diofantina", admitindo infinitas soluções. Claro que, de acordo
> com as condições do exercício proposto deve-se conseguir restringir a
> quantidade delas para um número bem menos (eu creio).
>
P.S.: Nem toda diofantiona tem infinitas soluções.
Diofantina significa somente `resolva em Z={0,1,-1,2,-2,3,-3,...}´
Ou seja, até mesmo x=2 pode ser diofantina, bem como x^3=5
> Amplexo.
> Fernando
>
> ________________________________
> ________________________________
>
>
> ----- Original Message -----
> From: Joao Victor Brasil
> To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> Sent: Monday, March 24, 2008 1:08 PM
> Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil
>
>
> Fernando,
>
> Infelizmente não tenho, mas tenta ver algo nesse sentido:
> 19H + 13M = 1000, H= Homem e M=Mulher
>
> Joao Victor
>
>
> On 3/24/08, Fernando <artesmatematica@xxxxxxxxx> wrote:
> >
> >
> > Olá João Victor, boa tarde!
> >
> > Você possui a solução do problema abaixo?
> > Se SIM, poderia enviá-la para mim?
> >
> >
> >
> > Sociedade Brasileira de Matemática
> >
> > EUREKA! N°14, 2002
> >
> > VIII OLIMPÍADA DE MAIO
> >
> > Enunciados e Resultado Brasileiro
> >
> > PRIMEIRO NÍVEL
> >
> > 11/05/2002
> >
> > PROBLEMA 1
> >
> > Um grupo de homens, alguns dos quais acompanhados pelas esposas, gastaram
> 1000
> >
> > dólares num hotel. Cada homem gastou 19 dólares e cada mulher, 13 dólares.
> >
> > Determine quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel.
> >
> >
> >
> > http://www.obm.org.br/eureka/eureka14.pdf
> >
> > acesso em 23/03/2008
> >
> >
> > Agradeço sua atenção.
> >
> > Amplexo.
> > Fernando Pinto
> >
> > ________________________________
> ________________________________
>
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: Joao Victor Brasil
> > To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
> > Sent: Monday, March 24, 2008 10:29 AM
> > Subject: Re: [obm-l] combinatoria dificil
> >
> >
> >
> > É verdade pessoal. Errei e muito na minha resolução.
> >
> > Mas olha só, concordo plenamente com a resposta do Henrique, 48
> possibilidades.
> >
> > Usando o princípio multiplicativo D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2 achei 72
> possibilidades, me alertaram sobre as repetições e analisei um modo de
> retirá-las.
> > D1H1:3 disc
> > D1H2: 2 disc
> > D2H1: 2 disc (repetir as mesmas disciplinas do dia 1)
> > D2H2: 1 disc
> > D3H1: 2 disc (apesar de sobrar somente uma disc, temos duas aulas)
> > D3H2: 1 disc
> >
> > 3*2*2*1*2*1 = 24. 72 - 24 = 48 poss.
> >
> > Joao Victor
> >
> >
> > On 3/20/08, Henrique Rennó <henrique.renno@xxxxxxxxx> wrote:
> > > Olá pessoal!
> > >
> > > Acredito que a solução do Salhab está correta. Seja Di o dia i e Hj o
> horário j.
> > >
> > > D1H1: 3 matérias
> > > D1H2: 2 matérias (para não repetir a utilizada em D1H1)
> > > D1: 6 possibilidades
> > >
> > > Para D2, se escolhermos uma já utilizada em D1 então não poderemos
> > > utilizar a outra matéria utilizada em D1, senão D3 teria as mesmas
> > > matérias. Assim, para D2 teríamos uma já utilizada (2 matérias) e uma
> > > não utilizada. Logo, 2*1 = 2. Como a ordem importa, temos 2*2 = 4.
> > >
> > > D3 só possui 2 formas, com as ordens das matérias trocadas.
> > >
> > > Total: 6*4*2 = 48.
> > >
> > > Essa é uma forma mais lógica de resolver o problema. Estive tentando
> > > utilizar combinatória e também achei a resposta 48.
> > >
> > > Sejam A,B,C as matérias. Quantas permutações diferentes existem entre
> > > A,A,B,B,C,C? Cada posição seria um horário em um dia, ou seja,
> > > D1H1_D1H2_D2H1_D2H2_D3H1_D3H2. Bastaria calcular o número de
> > > permutações com repetição, ou seja, 6!/(2!*2!*2!) = 720/8 = 90.
> > >
> > > Sabemos que não podemos ter uma permutação do tipo AABCBC, pois AA
> > > representa a mesma matéria em D1H1 e D1H2. Então sabemos que a
> > > resposta é menor que 90.
> > >
> > > As formas inválidas serão:
> > >
> > > Se as 3 matérias do mesmo tipo estão juntas no mesmo dia, ex: AABBCC.
> > > Existem 3! = 6 formas, considerando AA,BB,CC como 3 elementos
> > > permutados entre si.
> > >
> > > Não há necessidade de verificar quando 2 matérias estão no mesmo dia
> > > pois cai no caso acima.
> > >
> > > Quando há apenas 1 matéria repetida em 1 dia, ex: AABCBC, então temos
> > > 12 formas para cada par da mesma matéria utilizada no mesmo dia. Se AA
> > > está em D1 então D2 pode ser BC ou CB e D3 pode ser BC ou CB, 2*2 = 4.
> > > AA pode estar em D1,D2,D3. Assim, 4*3 = 12. Para BB e CC seria o
> > > mesmo, dando um total de 3*12 = 36 formas quando há apenas uma matéria
> > > que se repete no mesmo dia.
> > >
> > > Assim, o total seria 90 - (6+36) = 90 - 42 = 48 formas distintas de
> > > compor o horário
> > >
> > > Thelio, você poderia passar a fonte do problema e verificar se as
> > > respostas são essas mesmo?
> > >
> > > On 3/13/08, Thelio Gama <teliogama@xxxxxxxxx> wrote:
> > > > É pessoal...
> > > >
> > > > Achei muito difícil esta questão. Agradeço se alguém puder explicá-la.
> > > >
> > > > Thelio
> > > >
> > > > uma turma tem aulas às 2ª, 4ª e 6ª feiras, de 8-9 horas e de 11-12
> horas. As
> > > > matérias são portugues, matemática e ingles, cada uma com duas aulas
> > > > semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o
> horário
> > > > dessa turma?
> > > > a)96 ; b) 144 ; c)192 ; d) 6! ; e) 120
> > >
> > >
> > > --
> > > Henrique
> > >
> > >
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> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > >
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V
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