Re: [obm-l] Diferença finita ( de novo)

["Rodrigo Renji" <rodrigo.uff.math@xxxxxxxxx>]

a fórmula você pode deduzir assim,
vou chamar o operador delta, de D (nao confundir com derivada), o
operador delta faz Df(x)=f(x+1)-f(x), seja o operador E que faz
Ef(x)= f(x+1), entao podemos escrever  D f(x)= Ef(x)-f(x)  (é possivel
definir operaçãoes analogas a soma, produto , potenciação, com esses
operadores e mostrar que formam um anel , sendo valida tb uma
propriedade similar ao binomio de newton, vou usar ela pra deduzir as
formulas das PA),
 podemos escrever D f(x)= (E-1) f(x)
as diferenças de ordem superior são definidas assim

D^0 f(x)=f(x)

D^(k+1) f(x)= D^k f(x+1) - D^kf(x) para k>0 , k natural
definindo tb E^k f(x)= f(x+k)

é válido fazer o seguinte
primeiro
D^n f(x)= (E-1)^n f(x) expandindo esse segundo termo por teoremade
binomio de newton
vou escrever o coeficiente binomial como c(n,k)= n!/k!(n-k)!, temos
D^nf(x)= somatorio [k=0 ate n] de c(n,k) E^(n-k) .(-1)^k f(x)
assim voce tem as diferenças escritas em função de valores sucessivos da função

mas da relação D=E-1, temos D+1=E, tomando potencias n em cada temos
(D+1)^n =E^n, aplicando numa função f(x) temos
E^n f(x)= (D+1)^n f(x) expande por teorema binomial
E^n f(x)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)
f(x+n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(x)

se voce fizer x=0 tem

f(n)= somatorio [k=0 até n] c(n,k) D^k f(0)

se fizer x=1 e n=p-1 temos
f(p-1+1)=f(p)= somatorio [k=0 até p-1] c(p-1,k) D^k f(1)

que é a formula que se quer
Em 31/10/01, Pedro<npc1972@xxxxxxxxx> escreveu:
>
>
> Essa sequecncia foi resolvida Pelo Professor Luís lopes (em 2003)de maneira
> brilhante, muito mais eficaz do que diferença finita.
> Pergunto ao Professor ou os demais da lista.Como demonstrar as fórmulas que
> estão em negritos a abaixo.
>
> 1)Seja a PA de ordem 3
>
> 1,3,19,61,141,271,...     a_i
>
> Vamos gerar outras PAs fazendo a_{i+1} - a_i:
>
> 2,16,42,80,130    Delta a_i
> 14,26,38,50         Delta^2 a_i
> 12,12,12              Delta^3 a_i
>
> a_i = a_1 + Delta a_1 binom(i-1,1) + Delta^2 a_1
> binom(i-1,2) + Delta^3 a_1 binom(i-1,3)
> a_i = 1 + 2(i-1) + 14(i-1)(i-2)/2 + 12(i-1)(i-2)(i-3)/6
> a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1
>
> S_n = a_1 binom(n,1) + Delta a_1 binom(n,2) +
> Delta^2 a_1 binom(n,3) + Delta^3 binom(n,4)
>
> S_n = n[3n^3 - 4n^2 - 3n + 10] / 6
>
> 2) Posso reslver da mesma forma a seguinte questão (arrumando)
>
>         Determine o termo geral da sequência {  3, 0, 5, 34 , 135,
> 452........} e calcule em seguida a soma dos n primeiros termos.
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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