Re: [obm-l] equação polinomial difícil

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Se você não tiver raizes inteiras/racionais (o que vc pode determinar por tentativa e erro dentro do conjunto de possiveis raizes), vc pode aplicar a formula de Cardano/Tartaglia. No caso de não sabe-la de cabeça, um procedimento simples permite vc determinar as raizes (ou a formula, se fizer para o caso geral).

Vamos inicialmente tentar simplificar ao maximo a equacao.
Sempre é possível eliminar um termo (nao fora o de terceiro grau, obviamente) de uma equação polinomial de terceiro grau com uma mudanca de variaveis: um deslocamento no eixo x.
Vamos eliminar o termo quadratico.
Procuramos um k tal que a substituição y = x + k não tenha termo em x^2.

(y + k)^3 - (y + k)^2 - 2(y+k) + 1
Os termos em y^2 serão:
3ky^2 - y^2, donde k = 1/3

(se vc fizer o caso geral, obtem facilmente k = -b/3a)

A sua equacao fica entao:
y^3 + (3k^2 - 2k -2)y + k^3 - k^2 - 2k + 1 = 0  <==>
y^3 - 7/3 * y  +  7/27 = 0

Pronto, agora não temos mais o termo quadratico.
A idéia agora é eliminar o termo linear. Assim, teremos resolvido a equação.

Se fizermos y = a + b, temos y^3 = a^3 + 3ba^2 + 3ab^2 + b^3, e, colocando em evidencia um termo "ab", ficamos com y^3 = a^3 + b^3 + 3aby. Podemos agora impor uma relação entre a e b que esteja a nosso favor: 3ab = 7/3. Repare que isso elimina o termo " - 7/3 * y" na equação, nos dando:
a^3 + b^3 + 7/27 = 0

Substituindo b agora por (7/3) / (3a) = 7/(9a) (a partir de nossa imposicao da relacao entre a e b), obtemos (multiplicando também os dois lados por a^3):

(a^3)^2 + 7/27 * (a^3)  +  (7/9)^3 = 0

que é uma equação quadratica em a^3 e que pode ser facilmente resolvida.



Isso ai não é nada mais do que o procedimento de Tartaglia, que, se feito no caso geral, dara a famosa formula.

Menos conhecidos são a formula e o procedimento de Ferrari, para obter a solução de equações de quarto grau.
A idéia é. elimine um termo (o de terceiro grau), isole o termo linear restante e dar um jeito de chegar em algo da forma ( )^2  =  ( )^2. Para isso, provavelmente vc chegara em uma situação em que tem que determinar uma constante, cuja determinação cai numa equação cubica. Vc usa então o método acima, e resolve o problema. Pode dar MUITO trabalho.

Abraço
Bruno

On Sun, Feb 24, 2008 at 8:05 PM, <cauchy@xxxxxxxxx> wrote:

Como resolve?

x^3-x^2-2x+1=0




=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=========================================================================

-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: brunoreis666@xxxxxxxxxxx
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0