Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar que é quadrado perfeito

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

SUGESTÃO: Re-escreva a sua expressão no formato (a-1/a)^2, depois mostre que este tal a-1/a é inteiro. Quem quiser o resto, veja abaixo.

 

---///---

 

PAPINHO: Será que dá para escrever este troço direto como o quadrado de a+b ou a-b? Tipo, um a^2+b^2-2ab? Bom, para que isto desse certo, aquele -2 da sua expressão teria que ser o -2ab, né? Ou seja, teria que ser ab=1 (ou seja, os outros dois termos têm de ser inversos um do outro). É, eu lembro que (a-1/a)^2=a^2+(1/a)^2-2 (um truque que eu já vi muitas vezes antes, por exemplo, resolvendo equações biquadradas)... isto VAI funcionar, pois (3+raiz(8))^n.(3-raiz(8))^n=1^n=1, eles são inversos um do outro!

 

Mas para completar o truque, eu precisaria de a^2=(3+raiz(8))^n... Bom, o n nem importa muito; se eu conseguisse 3+raiz(8)=c^2 tava bom, pois seria a=c^n. Usando a fórmula de radicais duplos ou um pouco de imaginação, vê-se que c=raiz(2)+1 serve! Ah, então eu já posso escrever minha solução:

 

---///---

 

SOLUÇÃO: Note que

 

(3 + raiz(8))^n + (3 - raiz(8))^n  -  2 = (raiz(2)+1)^(2n) + (raiz(2)-1)^(2n)  -2 =

= ((raiz(2)+1)^n - (raiz(2)-1)^n) ^2 = (A^n-B^n)^2

 

onde usei A=raiz(2)+1 e B=raiz(2)-1 (e notei que AB=1)

 

Agora eu só preciso provar que o que está lá dentro, isto é, P(n) = A^n - B^n, é inteiro (pelo menos para n ímpar)... Isto sai de várias formas:

a) Abrindo esse P(n) com binômio de Newton, vê-se que as potências ímpares de raiz(2) se cancelam; o resto é tudo inteiro.

OU

b) Para quem já mexeu com equações a diferenças finitas: tudo que é combinação linear de potências n-ésimas de 2 números satisfaz uma relação recursiva de ordem 2. Em particular, u(n)=P(2n+1)=A.(A^2)^n+B.(B^2)^n é uma tal combinação. Como A^2 e B^2 são raízes de t^2-6t+1=0 (faça a conta), então os u(n) satisfazem: u(n+2)=6u(n+1)-u(n). Se você mostrar que u(0) e u(1) são inteiros (isto é, que P(1) e P(3) são quadrados perfeitos), por indução todos os u(n) o serão!

 

Abraço,

    Ralph

 

2008/2/20 Rafael Cano <rafaelcano@xxxxxxxxxxxxx>:

Olá

Faça (3 + raiz(8))^n + (3 - raiz(8))^n  -  2 = k. k tem que ser inteiro para n ímpar.

Substituindo: t=(3 + raiz(8))^n e multiplicando por t a equação:

t² - (k+2)t + 1=0. Agora isola o t. Pra qualquer n, t é da forma a+b*raiz(2), a e b inteiros...

A partir disso acho que eu consegui mostrar que k é quadrado perfeito. Veja se da certo ai.

Abraços

----- Original Message -----

From: Artur Costa Steiner

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

Sent: Tuesday, February 19, 2008 3:34 PM

Subject: [obm-l] Provar que é quadrado perfeito

Gostaria que alguém desse alguma sugestão para isto:

 

Mostre que, para todo n ímpar positivo, (3 + raiz(8))^n + (3 - raiz(8))^n  -  2 eh um quadrado perfeito.

 

Abracos

Artur