2008/2/17 Carlos Yuzo Shine <
cyshine@xxxxxxxxx>:
Sim, isso é um fato verdadeiro.
Vou provar com um pouco de Cálculo; mais precisamente,
utilizando o fato de que a derivada de ln(f(x)) é
f'(x)/f(x).
Note então que, se P(x) = a(x-x1)(x-x2)...(x-xn),
sendo x1, x2, ..., xn as raízes (possivelmente com
repetições) e a um real, então P'(x)/P(x) é a derivada
de ln(P(x)), que é igual a ln|x-x1| + ln|x-x2| + ... +
ln|x-xn| (aqui, não vamos nos preocupar com questões
de convergência, já que estamos trabalhando com séries
formais). Mas se calcularmos a derivada a partir dessa
segunda forma, obtemos
P'(x)/P(x) = 1/(x-x1) + 1/(x-x2) + ... + 1/(x-xn)
Desenvolvendo 1/(x-r) = (1/x)/(1-r/x) como série de
potências, obtemos
1/(x-r) = (1/x)(1 + (r/x) + (r/x)^2 + ...)
= x^{-1} + rx^{-2} + r^2x^{-3} + ...
e, substituindo, o resultado segue.
Quanto a calcular a soma de potências das raízes,
existe outro algoritmo que funciona. Sendo S(m) a soma
das m-ésimas potências das raízes de P(x), temos
a_nxi^n + a_{n-1}xi^{n-1} + ... + a_1xi + a_0 = 0
para cada raiz xi de P. Então
a_nxi^{m+n} + a_{n-1}xi^{m+n-1} + ... + a_1xi^{m+1} +
a_0x^m = 0
Somando sobre todas as raízes, obtemos
a_nS(m+n) + a_{n-1}S(m+n-1) + ... + a_1S(m+1) +
a_0S(m) = 0
Tendo n valores iniciais (que podem ser obtidos com as
relações entre raízes e coeficientes ou a série formal
acima), obtemos S(m) para todo m inteiro.
[]'s
Shine