Re: [obm-l] desigualdade

["Ralph Teixeira" <ralphct@xxxxxxxxx>]

Vejamos Lagrange:

 

Caso i) Grad(x^2+y^2+z^2)=0 dah x=y=z=0 que nao serve.

 

Caso ii) Grad(x^3+y^3+z^3-3xyz)=(3a/2).grad(x^2+y^2+z^2)

(Chamei a constante lambda de 3a/2 para facilitar o que vem a seguir)

 

O sistema eh:

i) x^2-yz=ax

ii) y^2-xz=ay

iii) z^2-xy=az

iv) x^3+y^3+z^3-3xyz=1 

 

(Se x=0, vem yz=0. Suponha y=0, e vem z^3=1, isto eh, (x,y,z)=(0,0,1) com a=1 eh solucao.

Analogamente, temos as possibilidades (0,1,0) e (1,0,0) para (x,y,z).

Qualquer uma delas satisfaz a restricao e dah x^2+y^2+z^2=1... serah que este eh o minimo?)

 

Agora, meu professor Secco me fez decorar a fatoracao:

v) x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)=S.(T-DP)

onde S=x+y+z; T=x^2+y^2+z^2 e DP=xy+xz+yz.

 

Entao temos:

vi) 1=S(T-DP)

(i)+(ii)+(iii)=vii): T-DP=aS

x(i)+y(ii)+z(iii)=viii): 1=aT

Identidade ix): S^2=T+2DP

 

Estas 4 equacoes sao mais faceis de resolver:

vii) em vi) dah 1=aS^2 (em particular, a,S<>0)

com viii) 1=aS^2=aT, entao S^2=T e, por (ix),  DP=0

Isto em vii): entao T=aS

Isto em aS^2=aT dah a=S, entao (como aS^2=1) a=S=1 e, enfim, T=1.

 

Em suma:

i) Como x^2+y^2+z^2>=0 e a superficie x^3+y+3+z^3-3xyz=1 eh fechada, tem de haver um minimo;

ii) Por Lagrange (funcoes suaves) se houver algum minimo, ele deve satisfazer T=1;

 

Ou seja, achamos o minimo T=1, mesmo sem ter resolvido completamente o sistema.

De quebra, encontramos no chute tres pontos onde o minimo eh alcancado (pode haver outros).

 

Abraco,

          Ralph

 

P.S.: E note o problema com aquele sistema; T=1 eh uma esfera e S=1 eh um plano. Entao S=T=1 eh um circulo (onde automaticamente DP=0).

Pela identidade v), em TODOS os pontos deste circulo tem-se x^3+y^3+z^3-3xyz=S(T-DP)=1, ou seja, o sistema de Lagrange tem uma infinidade de solucoes!

Assim, a esfera T=1 e a superficie x^3+y^3+z^3-3xyz=1 se tangenciam com um CIRCULO em comum no espaco... Deixa eu fazer uma figura... Ok, veja GIF anexo!

 

2008/2/1 Klaus Ferraz <klausferraz@xxxxxxxxxxxx>:

Ache o minimo de x^2+y^2+z^2, onde x,y,z pertence a R e x^3+y^3+z^3-3xyz=1

 

Alguem conhece alguma desigualdade que encaixa ai? Eu tentei usar os multiplicadores de lagrange mas caiu em um sistema que num consegui resolver não.

vlw.

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