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Re: [obm-l] Um tema recorrente.



Oi Paulo
 
Parece que nossas mensagens foram praticamnente simultâneas. Vou ler a sua com atenção e logo que possa responderei.
Sds
 
Fernando

 
2008/1/18, Paulo Santa Rita <paulo.santarita@xxxxxxxxx>:
Ola Fernando, Sergio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

O argumento do Fernando e interessante. Vejamos. Seja N a
cardinalidade dos numeros naturais e seja B um numero binario infinito
fixo, tomado como base do processo. Para cada digito de B lancamos
uma moeda honesta. Ha duas possibilidades :

Ocorrendo "cara" mantemos o digito; ocorrendo "coroa", o invertemos

Pelo principio multiplicativo o "total" de possiveis numeros binarios
infinitos gerados sera 2x2x2x...x2x2x..., onde neste produto ha tantos
fatores quando a quantidade de digitos do numero binario B. Como
claramente B tem "N" digitos segue que serao possiveis 2^N numeros
binarios.

O que e o 2^N que descrevemos acima ? Uma notacao para um processo ...

Seja A um conjunto com M elementos. Quantos subconjuntos A tem ?
Resposta : 2^M. E claramente 2^M > M para todo M natural. Esse fato
simples valido para "numeros finitos" tambem e valido para "numeros
transfinitos", ou seja, o Cantor mostrou que a cardinalidade  do
conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto infinito A tem uma
cardinalidade superior a cardinalidade de A. Se M e a cardinalidade do
conjunto infinito A entao REPRESENTAMOS a cardinalidade do conjunto
dos subconjunto de A com o simbolo 2^M.

Assim, 2^M nao e a descricao de um processo mas tao somente uma
notacao. Se N e a cardinalidade dos numeros naturais, vale dizer, a
"quantidade" de elementos de qualquer conjunto enumeravel,
representamos por 2^N a cardinalidade do conjuntos de todos os
subconjuntos ( finitos e infinitos ) dos numeros naturais.

Portanto, nao esta claro que o 2^N - representacao de um processo -
usado pelo Carissimo Fernando e a mesma coisa que o  2^N usado para
representar a cardinalidade do conjunto
de todos os subconjuntos dos numeros naturais.

TEM MAIS

Seja C a cardinalidade dos reais. Seja 2^N a cardinalidade do conjunto
de todos os subconjuntos dos numeros naturais. Quem disse que 2^N = C
? Essa e a hipotese do continuo, vale dizer, nao existe um conjunto
com cardinalidade entre a dos naturais e a dos reais. Essa e uma
questao "em aberto". Mais que isso : e uma hipotese absolutamente
independente ... Se voce supor que 2^N = C nao ha problemas. Se voce
supor que 2^N # C tambem nao ha problemas, nao obstante cada uma
destas possibilidades conduzirem a uma Matematicas Diferentes.

Este estado de coisas da hipotese do continuo e absolutamente
inaceitavel ... Trata-se do nosso principal problema de contagem e nao
sabemos fazer a pergunta certa de maneira a termos uma resposta
satisfatoria. E uma das maculas da Matematica, que mais dia menos dia
vai ter que receber uma feicao nova.

Seja C a cardinalidade dos reais. Se voce supor a ordem natural para
os numeros transfinitos do Cantor e se perguntar : Quem e "C" ? O
segundo Alefe ? O terceiro Alete ? A resposta honesta e : nao sabemos
! Por que ? Por causa da incerteza quanto a hipotese do continuo... Em
verdade, dizer que um conjunto nao e enumeravel e o mesmo que dizer
que nao conhecemos a sua cardinalidade, tendo por base a "sequencia"
de numero tranfinitos construida pelo Cantor.

Assim, carissimo Fernando, mesmo que seja possivel demonstrar que a
quantidade de numeros ( cardinalidade ) binarios possiveis gerados
pelo processo da moeda que voce descreveu nao seja a cardinalidade dos
naturais, nao e absolutamente seguro dar o "salto quantico" e dizer
que ha tantos possiveis numeros binarios quanto a quantidade de
numeros reais.

Note que estou usando uma linguagem simples, sem maiores preocupacoes
com rigor. Falando com precisao, nos ( Matematicos ) dizemos que a
cardinalidade de um conjunto A "e menor que" a cardinalidade de um
conjunto B se existe uma injecao f: A -> B mas nao existe uma bijecao
g: A-> B.

TEM MAIS

Seja D o conjunto de todos os numeros binarios potencialmente gerados
pelo processo descrito pelo Fernando. Suponhamos que se prove que
existe uma bijecao f : D -> R, onde R e o conjunto dos numeros reais,
ou seja, a cardinalidade de D e C ( C = cardinalidade do conjunto dos
numeros reais ). Seja E o conjunto de todos os programas efetivos numa
dada linguagem. Sabemos que E e enumeravel. Em E estaram as dscricoes
de todos os elementos de D que apresentam REGULARIDADE ESTATISTICA ? O
que, precisamente, REGULARIDADE ESTATISTICA ? IMAGINO que regularidade
estatistica e a capacidade de ser descrito por um procedimento
efetivo, vale dizer, um algoritmo. Neste caso, eu penso que voce
estaria apenas atribuindo um novo nome, ALEATORIO, aos numeros nao
computaveis, E NAO CARACTERIZANDO-OS DE FORMA DEFINITIVA :



Acima eu tentei apresentar as minhas duvidas com o objetivo de , de
alguma forma, contribuir para o esclarecimento da questao. Deve-se
ressaltar, entretanto, que os Matematicos sao, em geral, bastante
parcimoniosos na introducao de novos conceitos, o que, parece-me, ser
o nucleo da questao aqui focalizada.

So depois que uma nova visao, em geral com conceitos novos, mostra-se
capaz de resolver de forma satisfatoria problemas conhecidos, dificeis
ou impossiveis de serem tratados com o ferramental tradicional, e que
ela e lentamente aceita e adotada. E novos conceitos dificilmente se
apresentam de forma acabada ou completa. Mesmo a pessoa que os percebe
num primeiro momento tem apenas uma compreensao limitada deles : TODOS
os grandes saltos cientificos e, em particular, matematicos, foram
feitos assim.

A independencia da Hipotese do Continuo e a demonstracao que mais
fortemente sugere que o nosso atual Universo Conceitual e insuficiente
para descrever as coisas, ou seja, que nao estamos sabendo fazer as
perguntas corretas.

Um Abracao
Paulo Santa Rita
6,0839,120108








2008/1/17, Sergio Lima Netto <sergioln@xxxxxxxxxxx>:
> >
> > Na fisica existe uma relacao simples que liga estas coisas, isto e, o
> > produto da incertezas deve ser maior que um valor conhecido : haveria
> > uma relacao matematica analoga a incerteza fisica ?
>
> Caros,
> Talvez esteja forcando a barra, me parece que existe uma ponte
> entre os conceitos de aleatoriedade e complexidade de Kolmogorov
> (comprimento do menor programa que gera uma string (um numero)):
> A teoria da informacao de Shannon. Estamos falando de coisas abstratas
> e nada triviais; a ideia de fazer a ponte, entao, eh mais
> abstrata ainda (pelo maior grau de generalidade). Uma tentativa,
> bem feita nomeu entender, existe no livro de Teoria da Informacao
> de Cover e Thomas, pela prentice-hall se nao me engano.
>
> Em relacao a "relacao matematica analoga a incerteza fisica" eu imagino
> que a medida de entropia definida por Shannon (nao confundir com a
> entropia da termodinamica) eh uma medida do grau de incerteza
> de uma variavel aleatoria - eh tambem uma medida da aleatoriedade
> da variavel aleatoria e tambem o limite de compressao da mesma
> variavel aleatoria. Qualquer livro de teoria da informacao
> poderia ser usado aqui para desbravar este tema, sendo os principais:
> i- artigo original do Shannon publicado em 48 no Bell Syst Tech Jrnl
> ii- livro do Shannon com co-autor, com mesmo conteudo do artigo
> iii- livro do Gallager (este eh o mais classico em termos didaticos)
> iv- o supra-citado livro do Cover e Thomas (approach mais moderno).
>
> Abracos,
> sergio
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Fernando A Candeias