Re: [obm-l] equacao funcional

["Felipe Diniz" <edward.elric.br@xxxxxxxxx>]

como f(x+y)=f(xy), fazendo x=1
f(y+1)=f(y)
assim se provarmos que f(t) é constante para t pertencente a (0,1] acaba.

da propriedade acima tambem temos tambem que f(nx)=f(x) e f(n+x)=f(x) para x real positivo e n natural.


seja r um irracional e b natural, temos que
f(br)=f(r)
e tambem temos que
f( br )=  f( [br] + {br} )=f( [br]{br} )=f( {br} ) pois [br] é natural.. onde [br] é o menor inteiro maior ou igual a br e {br} é a parte fracionaria.
assim f( {br} ) = f(r)
Pelo teorema de Kronecker temos que {br} é denso em (0,1) logo, como f( {br} ) = f(r) para b natural, temos que f(x) é constante para x pertencente a (0,1).

Como f(1)=f(1/2+ 1/2)=f(1/4) acabou.


espero que esteja correto.

Abraços,
Felipe Diniz

On Dec 20, 2007 10:57 AM, Anselmo Alves de Sousa < anselmo_rj@xxxxxxxxxxx > wrote:

 
 


DESCULPEM nÂO Vi A RESTRIÇÂO

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Date: Thu, 20 Dec 2007 03:38:09 -0800
From: klausferraz@xxxxxxxxxxxx
Subject: [obm-l] equacao funcional
To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma  funcao constante.

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