Re: [obm-l] Um problema de cônicas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Dec 6, 2007 4:06 PM, João Pedro de Gusmão Silva
<joaopedrogusil@xxxxxxxxxxxx> wrote:
> Amigos me ajudem nos seguintes exercícios:
>
> 1) Por um ponto J exterior a uma elipse tracemos as retas tangentes à
> elipse, JM e JN, onde M e N são os pontos de tangência.  Seja P o ponto
> médio de MN, mostre que a reta JP passa pelo centro dessa cônica.

Aplique uma transformação afim para transformar a elipse em um círculo.
Note que retas tangentes são levadas em retas tangentes, centro em centro
e ponto médio em ponto médio. Note também que para um círculo o problema
é trivial.

> 2) Análogo ao anterior para hipérbole.

Dá para provar por argumentos abstratos que se a coisa dá certo para toda
elipse deve necessariamente dar certo para uma hipérbole também.
Mas acho que o mais fácil é fazer por analítica. Aplique uma transformação
afim para que a hipérbole seja xy = 1.

Se o ponto J = (a,b) estiver no primeiro quadrante devemos ter ab < 1.
Aplique transformação  linear da forma diagonal(c,1/c) para ver que
você pode supor que o ponto J tenha a forma (d,d), 0 < d < 1.
O resultado segue por simetria em relação à reta y=x.

Se o ponto J estiver no segundo quadrante a transformação linear
diz que podemos supor J = (-d,d) e agora o resultado segue
por simetria em relação à reta y=-x.

O terceiro quadrante é análogo ao primeiro e o quarto é análogo
ao segundo.

Se o ponto J estiver em um dos eixos a situação é um pouco degenerada
pois uma das tangentes vira uma assíntota e o correspondente ponto
de tangência foge para infinito. Mesmo assim dá certo.

> 3) O aconteceria se a cônica fosse uma parábola?

 A reta JP fica paralela ao eixo da parábola.

N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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