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RES: [obm-l] Vetores e complexos
A
diferença fundamental entre o plano cartesiano e o plano complexo não
reside, na realidade, na natureza de seus componentes. Tanto os elementos
de R^2 como os elementos dos complexos C são pares ordenados de números
reais. Ate aí, não há absolutamente nenhuma diferença.
A
diferenca aparece quando deixamos de considera-los apenas como conjuntos e
passamos a considera-los como estruturas algebricas. O R^2 eh um espaco
vetorial sobre o corpo dos reais, mas o R^2, com a estrutura algebrica nele
definida, nao eh um corpo, Nao podemos dois multiplicar elementos de R^2 e
obter outro elemento de R^2. O chamado produto escalar, ou interno, nao atende a
esta condicao. Nem o chamado produto vetorial, geralmente definido em R^3,
na Fisica, e muito usado na mecanica e no eletromagnetismo.
Mas,
quando equipamos R^2 com as operacoes de soma e multiplicacao,
definidas por (a ,b) + (c , d) = (a +b, c + d) e (a ,b) * (c
, d) = ((ac - bd) , (ad + bc)), obtemos um corpo. A estrutura
algebrica conhecida como corpo e que satisfaz a todos os axiomas que a
definem.
Assim,
vistos meramente como conjuntos, R^2 e C sao identicos. Mas vistos como
estruturas algebricas, sao diferentes.
De
forma rigorosa, ao nos referrimos ao corpo dos complexos, nao deveriamos
escrever apenas C, mas sim (C, + , *), para siginificar um corpo com
relacao as operacoes de adicao e multiplicacao anteriormente citadas. Uma terna
composta pelo conjunto C, formado pelos pares de reais, pela operacao + e
pela operacao *, jah citadas. Mas, por uma questao de simplicidade,
escreve-se apenas C, estando subentendida estrutura de corpo e as operacoes + e
*..
Eh
usual representar-se o elemento de C de parte real a e parte imaginaria b
por a + bi, e nao por (a, b). Mas eh a mesma coisa. Isso dah aos
complexos um sentido mais de numero e podemos entao dizer que os reais sao
subconnjunto (ou melhor, sub corpo) de C, formado pelos elementos com parte
imaginaria nula.
Matematicamente, hah um isomorfismo entre o conjunto dos pares (a, b) e
os numeros a + bi, o qual identifica um conjunto com o outro. Por exemplo, o
real 1 eh identificado com (1,0) e i é identificado com (0 , 1). Em um bom livro
de algebra voce acha estes conceitos.
Artur
Não tem nenhuma diferença, a única coisa que
muda é que quando estamos no plano complexo podemos multiplicar os vetores
(a,b)(c,d), o que não existia no plano cartesiano. E lógico quando podemos
multiplicar os vetores, dizemos que estamos multiplicando números complexos.
t+
Jones
On Nov 13, 2007 1:12 PM, Sérgio Martins <
sms.sergio@xxxxxxxxx> wrote:
Colegas,
Qual a diferença do plano cartesiano para o plano complexo, ou seja,
entre (a,b) representando um vetor e um número complexo?
Um abraço,
Sérgio