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Oi, Sérgio, Interessante a pergunta e tive um ataque maluco de prolixidade na resposta.... Virou quase uma aula de introdução a como "criar intuição sobre isto" mas já que escrevi , ai vai :-) Ficou ENOOOOOOOOOORME.... Espero que te ajuda... e que o majordomo não me "cape"... 0) No fundo no fundo, um "par de eixos" é um belo artifício para modelar inúmeros objetos ou situações em matemática (e física, etc), que ajudam um bocado a gente. Vamos a seu primeiro exemplo, o Plano Cartesiano... (no fundo você falou pelo menos em 3 abstrações: plano cartesiano, vetores e complexos... vamos devagar... 1) Primeiro pensemos no problema de posicionar um ponto em um plano, usando os dois eixos como "referenciais" (como poderíamos estar interessados em posicionar um ponto na Terra, através da longitude e latitude; ou a posição de uma casa no jogo de batalha naval, etc). Ai, é claro, que dois números (a tal da abscissa e da ordenada) resolvem adequadamente esta situação. Então conseguimos associar (biunivocamente) um ponto do plano a um par de números e reciprocamente (sem entrar no merito - nem agora nem depois - , que a reta e os reais são amiguinhos). Veja que, concretamente, um ponto (uma abstração geométrica) não tem NADA, absolutamente NADA que haver com um par de números (outra abstração), mas esta "identificação" nos pemite trabalhar em dois "ambientes" diferentes e nos permite associar, portanto, conjunto de pares de números a um conjunto de pontos do plano (que no fundo é uma figura - ou seja, um objeto da geometria).... Portanto, associamos pares de números a figura da geometria plana. 2) Vejamos, agora outra associação. Dada uma "relação real - uma equação ou inequação" envolvendo duas variáveis, por exemplo, y = 2x + 1, podemos imaginar que ela é verdadeira para vários pares de números x e y e como já pensamos em pares de números reais há pouco, poderíamos então imaginar que o conjunto solução desta "relação" é identificável com um conjunto de pontos do plano... Então, olha que genial: conseguimos (viva Descartes etc) associar um conjunto de pontos do plano (uma figura geométrica) a uma equação (uma outra abstração)... Daí, "olhamos" para a equação x^2 + y^2 = 1 e "vemos" uma circunferência. Não é bárbaro a naturalidade com que fazemos isto sem muitas vezes perceber a brutal abstração envolvida ? Ah, adoraria que todos os profesores do mundo percebessem como isto é um novo paradigma para o(a)s menino(a)s de 7a e 8a série (agora 8a e 9a)... Não é a toa que neguinho chega no segundo grau - muitas vezes no vestiba - , e não consegue entender NADA, mas NADA de NADA de NDA de geometria analitica... Foram maltratados lá no início... e também no fim.... :-) . 3) Vetorzinhos da Física... A gente aprende que um vetor fica definido quando conhecemos sua direção, sentido e módulo. Bem, ai adoraríamos que as setinhas nos ajudassem (pois setinhas possuem tamanho, direção e sentido...). Mas uma setinha de um ponto A a um ponto B NÃO é um vetor. Verdade que outras setinhas também podem ter o mesmo módulo direção e sentido e então um vetor é identificado com o conjunto das setinhas blá, blá, blá (taí uma boa oportunidade para falar em relações de equivalência - entre setinhas, etc, etc) Então, podemos imaginar que é útil prá caramba representar um vetor de tal módulo, direção e sentido por uma setinha na origem de um sistema de eixos (ortogonais). Aí, dá para perceber que suas projeções sobre os eixos coincidem com as coordenadas do ponto extremo da setinha anterior... (um pulo do gato!). Então ficou interessante identificarmos um vetor por um par de números que representam suas projeções sobre os dois eixos e ao mesmo tempo tal par de numeros seria (também) o ponto extremidade da setinha de origem na origem e que o representa.... Depois, o professor de Física nos ensina como somar vetores, subtrair e a gente fica feliz da vida pois descobrimos que basta somar ou subtaris as componentes dos dois vetores que obtemos o vetor soma. Ou seja, descobrirmos que é útil imaginar que estamos somando e subtraindo pares de números reais pois isto é MUITO útil para a Física.... Então, os pares de números que antes serviam para "localizar" um ponto no plano, tiveram outra funcionalidade. Quando imaginamso que os pares de números representam vetores do plano (suas componentes) já botamos as manguinas de fora e estamos somando e subtarindo pares de números reais.... PORQUE é ÚTIL....pelo menos pros nossos vetorzinhos... Mas ai (para não me alongar quase .... infinitamente...) a Física vem com o papo que é interessante calcular a projeção de um vetor u = (u1, u2) sobre outro vetor v = (v1, v2), por exemplo, onde u1 e v1 são as projeções de u e v sobre Ox e u2 e v2 sobre Oy..... Ai a gente percebe que a conta a fazer é |u|. cos alfa, onde alfa é o ângulo entre u e v... e esta conta dá u1.v1 + u2.v2 que a Física (e nós também) adoramos chamar de produto escalar de dois vetores....(usando a lei dos cosenos a gente mostra isto). Então, os tadinhos dos pares de pontos que começaram apenas sendo uma forma útil de localizar pontos no plano, além de já terem sido "somados" e subtraídos" (qundo os "vemos" como vetores agora estão sendo "multiplicados".... Verdade que por uma multiplicação aparentemente maluca, mas extremamente útil para trabalhar com os vetores da Física... (e cá prá nós, com nossa álgebrazinha linear básica do segundo grau, também)... Então, lá sua pergunta do início: Plano cartesiano com (a, b) representando um vetor tá resolvido, nao? Agora vamos pros complexos... 4) Neguinho então inventou o i . Depois veio o complexo z = a + bi e nos ensinaram como somar e subtrair dois complexos.... do jeito manjado.... Mas ai, olha o que percebemos. Somamos as partes reais e imaginarias de dois complexos como se fossem coisas que não fossem uma com a cara da outra... Igualzinho fizemos com as componentes "horizontal" e "vertical" de um vetor (uma não vai com a cara da outra também, - não se misturam...). Bolas, então, no fundo porque não usamos setinhas também para representar os tais dos números complexos? Poderíamos usar o eixo "horizontal" para marcar a "componente" real do complexo e o eixo vertical para marcar a parte imaginária. E a coisa funciona, pois vetores e complexos são somados e subtraidos "da mesma maneira"... Então, chamar um par de eixos de "Plano Cartesiano" ou Plano de Argand-Gauss é apenas uma questão de apelido... no sentido que num momento estamos modelando uma representacão para pontos ou vetores e em outro momento para complexos.... Concluo lembrando que então temos uma outra multiplicação entre pares de reais, absolutamente inutil para os vetorzinhos da Física, mas super interessante para a geometria e obviamente para nossos complexos.... Como já comecei a cansar e o majordomo vai me cortar, o produto de complexos fica pra depois... Abraços, Nehab ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= |