[obm-l] RES: [obm-l] Mesma soma e produto máximo

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Isto pode ser feito usando calculo, mas neste caso acho que nao eh a solucao mais facil.

 

Sendo S a soma dos n numeros, temos que S = n Ma, onde Ma eh a media aritmetica dos numeros. Como S é constante, temos que Ma = S/n eh constante;

Sendo P o produto, temos que P = Mg^n, onder Mg eh a media geometrica dos numeros. Assim, P eh maximo se, e somente se, Mg for maxima.

Da desigualdade das medias aritmetica e geometrica, temos que Mg <= Ma, com igualdade se, e somente se, os numeros forem todos iguais. Assim, Mg serah maxima se Mg = Ma, o que so acontece se os numeros forem todos iguais.

Segue-se que P é maximo se, e somente se, os n numeros forem iguais. 

 

[Artur Costa Steiner] 

 -----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx [mailto:owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx]Em nome de Paulo Argolo
Enviada em: segunda-feira, 5 de novembro de 2007 17:38
Para: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Assunto: [obm-l] Mesma soma e produto máximo

Caros Colegas:

      Gostaria de obter uma demonstração da propriedade abaixo:

      "Dados n números reais positivos com a mesma soma S, seu produto será máximo quando todos o n números forem iguais; não sendo todos iguais, seu produto não será máximo."

       Cordialmente,

      Paulo Argolo
      Rio de Janeiro, RJ